n-uplet
En mathématiques, si n est un entier naturel, alors un n-uplet ou n-uple est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.
En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).
Note : l'utilisation du terme anglais tuple, suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français[1].
Définitions
Pour n > 0, si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, …, an le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,…,an).
Exemples :
- Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (1, 1, 5, 20).
- Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
- Le 0-uplet s'écrit .
L'égalité des n-uplets se définit par
- (a1,a2,…,an) = (b1, b2,…,bn) si et seulement si a1 = b1 et a2 = b2 … et an = bn.
Exemples :
- (1, 2) ≠ (2, 1).
- (♠ , ♥) ≠ (♥, ♠).
La n-ième puissance cartésienne En d'un ensemble E est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.
- un 1-uplet est un élément de E ;
- un 2-uplet est un couple (ou doublet) ;
- un 3-uplet est un triplet[2] ;
- un 4-uplet est un quadruplet ;
- un 5-uplet est un quintuplet ;
- etc.
Plus généralement, le produit cartésien E1 × … × En de n ensembles E1, …, En est l'ensemble des n-uplets (a1,a2,…,an) où a1 appartient à E1, …, an appartient à En.
Exemples
- De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
- Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
- Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
- En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
- En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
- Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.
Formalisation
D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :
- (a1, a2, … ,an) = ((… ((a1, a2), a3), … , an–1), an)
(c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :
- ∅ est un 0-uplet
- si x = (a1, a2, … ,an) est un n-uplet, alors (x,an+1) est un (n+1)-uplet, et (a1, a2, … ,an, an+1) = (x, an+1).
La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.
On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.
Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, …, n – 1} ou {1, …, n}.
Notes et références
- Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari et K. Huynh, Microéconomie, Bréal, 2007 (ISBN 9782749507491) , p. 226.
- J.-P. Escofier, Toute l'algèbre de la Licence, Dunod, , 3e éd. (lire en ligne), p. 30.
