Triangle de Reuleaux

Un triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante, c'est-à-dire une courbe dont tous les diamètres ont la même longueur. Dans ce cas un diamètre correspond au segment formé par un sommet et n'importe quel point du côté opposé (qui est un arc de cercle dans ce cas). Cette courbe tient son nom de l'ingénieur allemand Franz Reuleaux, qui fut au XIXe siècle un pionnier du génie mécanique.

Triangle de Reuleaux

Histoire

La forme du triangle de Reuleaux a été utilisée au treizième siècle pour certaines rosaces gothiques.

Plus tard, On peut voir la construction de ce triangle dans plusieurs manuscrits de Léonard de Vinci. Toutefois, rien ne montre que Léonard ait suspecté les propriétés de roulante de cette figure.

Leonhard Euler a étudié ces formes qu’il nommait « orbiforme ».

Reuleaux est le premier à avoir caractérisé cette courbe comme une courbe de largeur constante et suspecté les applications cinématiques de cette figure[1].

Construction
Construction d'un triangle de Reuleaux

Pour construire un triangle de Reuleaux, on part d'un triangle équilatéral. Depuis chaque sommet pris tour à tour, on décrit un arc de cercle entre les deux autres sommets. Les trois arcs raccordés forment un triangle de Reuleaux.

Polygones de Reuleaux (polygones réguliers).
Un heptagone irrégulier de Reuleaux.

On peut généraliser la construction de Reuleaux aux polygones ayant un nombre de côtés impair : on obtient ainsi des polygones curvilignes de largeur constante, les polygones de Reuleaux. Ces polygones peuvent même être irréguliers.

Aire et périmètre

On observe facilement que le périmètre P d’un triangle de Reuleaux de rayon r équivaut à la moitié d’un cercle de rayon r.

L’aire A de ce même triangle est :

Caractéristiques

Un théorème (en) dû à Wilhelm Blaschke et Henri-Léon Lebesgue établit que cette courbe possède, parmi les courbes d'égale largeur, une surface minimale.

Comme tous les diamètres ont même longueur, un polygone de Reuleaux répond à la question suivante : « Quelle forme doit avoir une plaque d'égout pour ne pas tomber dans le regard de visite ? » La réponse la plus simple est le cercle, mais le triangle de Reuleaux convient également. La ville de San Francisco par exemple utilise également des triangles de Reuleaux[2].

Un triangle de Reuleaux en rotation dans un carré.

Utilisations

On associe le triangle de Reuleaux au compresseur rotatif du moteur Wankel. Le rotor de ce moteur est effectivement à la base un triangle de Reuleaux, dont les faces sont creusées pour augmenter la surface de la chambre de combustion.

Une application particulièrement remarquable de ces triangles est l'existence de mèches pour foreuses qui percent des trous « carrés » ou presque comme le montre l'animation ci-contre[3].

Au Royaume-Uni, les pièces de 20 et 50 pence sont des heptagones de Reuleaux en cupronickel.

L'horloger britannique Derek Pratt en fait une utilisation remarquable dans l'un de ces mouvements mécaniques dans le but d'y intégrer une vieille complication horlogère : la seconde morte.

Tétraèdre de Reuleaux
Un tétraèdre de Reuleaux

L'intersection de sphères de rayon commun s, et dont les centres sont au sommet d'un tétraèdre de côté s s'appelle tétraèdre de Reuleaux.

Contrairement à l'intuition, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas de largeur constante : le diamètre de ce solide, c'est-à-dire la distance entre deux points situés au milieu de deux arêtes opposées, est supérieure à la distance séparant deux sommets :

Notes et références
  1. Otto Tœplitz et Hans Rademacher, The Enjoyment of Mathematics [« Von Zahlen und Figuren »], (réimpr. Dover, rééd. 1990, 2), 205 p. (ISBN 978-0-486-26242-0, lire en ligne), « Curves of constant breadth », p. 165.
  2. Ryan Miller, « Found Math Photos Spot Math Where Many Don’t », MAA Focus,, vol. 29, no 1,‎ , p. 22 (lire en ligne).
    Ou Cette page dans leur "Found Math gallery".
  3. (en) How to drill square hexagon octagon pentagon holes [« Comment percer des trous carrés, hexagonaux, etc. »], Wilmerding, Pennsylvania, Watts Brothers Tool Works, 1950–1951 (brochure de 27 pages).

Liens externes
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