Courbe de largeur constante

Le cercle est la courbe de largeur constante qui, pour une largeur donnée, entoure la plus grande aire (résultat découlant du théorème isopérimétrique et du théorème de Barbier). Inversement, pour une largeur donnée, la courbe de largeur constante possédant la plus petite aire est le triangle de Reuleaux (théorème de Blaschke-Lebesgue (en)).

Les pièces de monnaie britanniques de 20 et 50 pence possèdent un contour de largeur constante. Leur forme d'heptagone curviligne permet d'économiser du métal sans gêner la reconnaissance de ces pièces par les automates rendant la monnaie : ces automates mesurent en effet une largeur identique quelle que soit l'orientation des pièces. C'est également le cas de la pièce de 1 dollar canadien, qui a pour sa part 11 côtés.

Il existe un polynôme f de degré 8 dont le graphe (c'est-à-dire l'ensemble des points (x,y) de ${\displaystyle R^{2}}$ vérifiant f(x,y)=0) est une courbe non circulaire de largeur constante[2]. Il est défini par :

${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}}$

${\displaystyle +48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}.}$

De façon générale, une courbe de largeur constante n'est pas forcément une série d'arcs de cercles raccordés (comme le triangle de Reuleaux) ou même une courbe offrant des symétries particulières : il existe en fait une infinité de courbes de largeur constante qui ne sont ni l'une ni l'autre. Elles n'ont en commun que la propriété d'être convexes.

De par sa propriété géométrique, le triangle de Reuleaux apparaît dans plusieurs mécanismes, le plus connu étant le moteur Wankel. L'ingénieur britannique Harry J. Watt a imaginé un foret utilisant cette courbe pour pratiquer des alésages quasi-rectangulaires.