Théorème du point fixe de Schauder

Le théorème du point fixe de Schauder est une généralisation du théorème du point fixe de Brouwer à des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie. Il a été démontré d'abord dans le cas des espaces de Banach par Juliusz Schauder[1]. Il intervient dans la démonstration de l'existence de solutions d'équations différentielles.

Énoncé

Soient $E$ un ℝ-espace vectoriel topologique séparé et $C$ un convexe fermé non vide de $E$ .

Théorème — Si $T$ est une application continue de $C$ dans $C$ telle que $T (C)$ soit relativement compact, alors $T$ a un point fixe.

Démonstration si $E$ est localement convexe[2]

L'enveloppe convexe-fermée de $T (C)$ est incluse dans $C$ et précompacte. En remplaçant $C$ par cette partie, on peut donc supposer désormais que le convexe $C$ est compact.

Pour un tel $C$ , montrons que pour tout ouvert convexe $V$ contenant 0, il existe un sous-espace vectoriel $G V$ de dimension finie et une application continue $I_{V}:C\to C\cap G_{V}$ tels que : $\forall x\in C,I_{V}(x)\in x+V.$ Par compacité, il existe une partie finie $F V$ de $C$ telle que $C\subset \bigcup _{f\in F_{V}}(f-V)$ et une partition de l'unité (ϕ_f)_{f∈F_V} subordonnée à ce recouvrement fini. En notant $G V$ le sous-espace vectoriel engendré par $F V$ , on définit alors l'application $I V$ voulue par : $\forall x\in C\quad I_{V}(x)=\sum _{f\in F_{V}}\phi _{f}(x)f.$
Puisque la dimension de $G V$ est finie et que $C\cap G_{V}$ est un compact convexe non vide stable par $I_{V}\circ T$ , le théorème du point fixe de Brouwer assure qu'il contient un vecteur $v V$ tel que $I_{V}(T(v_{V}))=v_{V},$ donc tel que $v_{V}\in T(v_{V})+V.$
Comme $C$ est compact, la suite généralisée $(v V)$ possède une valeur d'adhérence, qui est alors un point de $C$ fixe par $T$ .

Histoire

Ce théorème fut d'abord démontré en 1930 par Schauder dans des cas particuliers, comme celui des espaces vectoriels topologiques métrisables complets[1]. Il conjectura le cas général dans le Livre écossais. En 1934, Tychonoff démontra le théorème dans le cas où $C$ est compact et $E$ est localement convexe[3]. Cette version est connue sous le nom de théorème du point fixe de Tychonoff. B. V. Singbal généralisa ce résultat au cas où $C$ n'est pas compact[4]. Le cas général (sans l'hypothèse de convexité locale) fut finalement démontré par Robert Cauty en 2001[5].

En 1951, James Dugundji[6] remarqua, comme corollaire de son théorème de prolongement, que la généralisation « naïve » en dimension infinie du théorème du point fixe de Brouwer est fausse : dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, il existe des applications continues sans point fixe de la boule unité fermée (non compacte) dans elle-même.

Théorème du point fixe de Schaefer

Une conséquence, appelée le théorème du point fixe de Schaefer, est particulièrement utile pour prouver l'existence de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Ce théorème de Schaefer est en fait un cas particulier d'un théorème de plus grande portée découvert auparavant par Schauder et Leray. Il s'énonce ainsi[7] :

Théorème — Soit

T

une application continue et compacte[8] d'un espace localement convexe séparé

E

dans lui-même, telle que l'ensemble $\{x\in E\mid \exists \lambda \in \left]0,1\right[,~x=\lambda T(x)\}$ soit borné. Alors pour tout

\lambda \in \left[0,1\right]

, il existe

x\in E

tel que

x=\lambda T(x)

.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schauder fixed point theorem » (voir la liste des auteurs).

(de) J. Schauder, « Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen », Studia Math., vol. 2,‎ 1930, p. 171–180 (lire en ligne).
Pour une variante dans le cas particulier où $E$ est de Banach et $C$ est borné et symétrique, cf. Écoles normales supérieures, Sujet commun Paris-Lyon, 1998, énoncé et une solution, par M. Tibouchi.
(de) A. Tychonoff, « Ein Fixpunktsatz », Math. Ann., vol. 111,‎ 1935, p. 767–776 (lire en ligne).
(en) F. F. Bonsall, Lectures on Some Fixed Point Theorems of Functional Analysis, Bombay, 1962, Appendix.
Robert Cauty, « Solution du problème de point fixe de Schauder », Fund. Math., vol. 170,‎ 2001, p. 231-246.
(en) J. Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1,‎ 1951, p. 353-367 (lire en ligne), Theorem 6.3.
(en) Jane Cronin, Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Analysis, AMS, 1964, 198 p. (ISBN 978-0-8218-1511-3, lire en ligne), p. 133.
Une application est dite compacte si l'image de toute partie bornée est relativement compacte.

Articles connexes

Théorème du point fixe de Kakutani

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[Schauder-1] (de) J. Schauder, « Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen », Studia Math., vol. 2,‎ 1930, p. 171–180 (lire en ligne).

[2] Pour une variante dans le cas particulier où $E$ est de Banach et $C$ est borné et symétrique, cf. Écoles normales supérieures, Sujet commun Paris-Lyon, 1998, énoncé et une solution, par M. Tibouchi.

[3] (de) A. Tychonoff, « Ein Fixpunktsatz », Math. Ann., vol. 111,‎ 1935, p. 767–776 (lire en ligne).

[4] (en) F. F. Bonsall, Lectures on Some Fixed Point Theorems of Functional Analysis, Bombay, 1962, Appendix.

[5] Robert Cauty, « Solution du problème de point fixe de Schauder », Fund. Math., vol. 170,‎ 2001, p. 231-246.

[6] (en) J. Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1,‎ 1951, p. 353-367 (lire en ligne), Theorem 6.3.

[7] (en) Jane Cronin, Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Analysis, AMS, 1964, 198 p. (ISBN 978-0-8218-1511-3, lire en ligne), p. 133.

[8] Une application est dite compacte si l'image de toute partie bornée est relativement compacte.