Théorème de von Staudt-Clausen

En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.

Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute ¹⁄_p à B_n pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier :

B_{2k}+\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}\quad \in \mathbb {Z} .

La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B₁ + ¹⁄₂ = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient ¹⁄₂.)

Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B_2k (k ≥ 1) s'écrivent :

B_{2k}=A_{2k}-\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}

où A_2k est un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli B_n non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.

Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840.

Exemples

$b_{1}=0-{\frac {1}{2}}$

$b_{2}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}$

$b_{4}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}=-{\frac {1}{30}}$

$b_{6}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}={\frac {1}{42}}$

$(b_{8}=b_{4})$

$b_{10}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{11}}={\frac {5}{66}}$

$b_{12}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{13}}=-{\frac {691}{2\;730}}$

$b_{14}=2-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{6}}$ $(b_{14}=b_{2}+1)$

$b_{16}=-6-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{17}}=-{\frac {3\;617}{510}}$

$b_{18}=56-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{19}}={\frac {43\;867}{798}}$

$b_{20}=-528-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{11}}=-{\frac {174\;611}{330}}$

$b_{22}=6\;193-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{23}}={\frac {854\;513}{138}}$

$b_{24}=-86\;579-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{13}}=-{\frac {236\;364\;091}{2\;730}}$

$(b_{24}=-86\;580+b_{12})$

Bibliographie

Z. I. Borevitch (en) et I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966, p. 431-433
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Fonctions d'une variable réelle, nouvelle édition, 1971, VI, p. 24
G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres [détail des éditions], théorème 118

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