Théorème de Wedderburn

• K est un corps fini. Soient Z son centre (c'est un sous-corps commutatif de K) et q = | Z | le cardinal de Z (qui vaut au moins 2 car Z contient 0 et 1).
• K est un Z-espace vectoriel de dimension finie d = dim_Z(K). Le cardinal de K est alors |K| = q^d. Il s'agit, pour prouver que K est commutatif c'est-à-dire K = Z, de démontrer que d = 1.
• Pour tout corps intermédiaire Z ⊂ K' ⊂ K, la dimension d' de K' sur Z divise d, puisqu'on vérifie facilement[5] en prenant des bases que d = d''d', où d'' désigne la dimension de K considéré comme espace vectoriel (à gauche) sur le corps (non commutatif a priori) K'. (On pourrait également utiliser simplement le Théorème de Lagrange stipulant que l'ordre de chaque élément d'un groupe divise l'ordre du groupe)

Soient x un élément de K et Z_x l'ensemble des éléments de K commutant avec x. Z_x est un sous-corps de K contenant Z. D'après le point précédent, d_x = dim_Z(Z_x) divise d.

Notons K^× le groupe multiplicatif de K, constitué des éléments inversibles de K. K^× agit sur lui-même par conjugaison par ${\displaystyle g.x=gxg^{-1}\;}$ pour ${\displaystyle g,x\in K^{\times }\times K^{\times }\;}$.

• Le cardinal de l'orbite ${\displaystyle \omega _{x}\;}$ d'un élément ${\displaystyle x\;}$ de K^× est ${\displaystyle |\omega _{x}|=|K^{\times }|/|Z_{x}^{\times }|\;}$ où, rappelons, ${\displaystyle Z_{x}^{\times }\ =\{g\in K^{\times }|g.x=x\}\;}$. La conjugaison est triviale sur Z ; les éléments de Z^× ont une classe réduite à un élément.
• Si (x_i) est une suite de représentants des k orbites non ponctuelles, la formule des classes s'écrit :

${\displaystyle |K^{\times }|=|Z^{\times }|+\sum _{i=1}^{k}{\frac {|K^{\times }|}{|Z_{x_{i}}^{\times }|}}.}$

soit, en constatant que ${\displaystyle Z_{x_{i}}^{\times }}$ est l'ensemble des éléments inversibles et commutant avec ${\displaystyle x_{i}}$ par "multiplication" de ${\displaystyle K}$, ce qui implique que ${\displaystyle Z_{x_{i}}=Z_{x_{i}}^{\times }\cup \{0_{K}\}}$ est un sous-corps de ${\displaystyle K}$ contenant Z (et donc ${\displaystyle \exists d_{x_{i}}\in \mathbb {N} [|Z_{x_{i}}^{\times }|=q^{d_{x_{i}}}-1]}$):

${\displaystyle q^{d}-1=q-1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {q^{d}-1}{q^{d_{x_{i}}}-1}}\;}$

En notant

${\displaystyle F(X)=X^{d}-1-\sum _{i=1}^{k}{\frac {X^{d}-1}{X^{d_{x_{i}}}-1}},}$

on vient de voir que F(q) = q – 1.

La théorie des polynômes cyclotomiques usuels (qui sont à coefficients entiers) démontre l'égalité suivante, si Φ_e(X) désigne le polynôme cyclotomique d'indice e :

${\displaystyle X^{d}-1=\prod _{e|d}\Phi _{e}(X).}$

En particulier Φ_d(X) divise X^d – 1, et pour tout diviseur strict d' de d, Φ_d(X) divise aussi (X^d – 1)/(X^d' – 1) puisque

${\displaystyle X^{d}-1=\Phi _{d}(X)C(X)(X^{d'}-1)}$

pour un certain polynôme C(X) à coefficients entiers : le produit des Φ_e(X) pour tous les e qui divisent strictement d mais qui ne divisent pas d' .

Par conséquent, Φ_d(X) divise F(X) dans ℤ[X]. En effet, pour tout ${\displaystyle x_{i}}$ dont l'orbite n'est pas ponctuelle, ${\displaystyle d_{x_{i}}}$ est un diviseur strict de d donc le raisonnement précédent s'applique à ${\displaystyle d'=d_{x_{i}}}$ et la conclusion suit, vue la définition de F(X).

Le trait vert correspond à ${\displaystyle q-1}$ et le rouge à ${\displaystyle |q-u|}$.

• On a obtenu 0 < q – 1 = F(q) = Φ_d(q)Q(q), où Q(q) est un entier, nécessairement non nul, donc |Q(q)| vaut au moins 1, si bien que${\displaystyle |\Phi _{d}(q)|\leq q-1.}$
• Pour tout entier n ≥ 1, ${\displaystyle \Phi _{n}(q)=\prod (q-u_{i})}$, où u_i décrit l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité. Comme l'illustre la figure ci-contre, si u est une racine primitive n-ième de l'unité avec n > 1, on a |q – u| > q – 1, donc${\displaystyle \forall n>1,\quad |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$
• Les deux inégalités précédentes entraînent d = 1 ; ainsi K est commutatif. Le théorème est démontré.

• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
• Guy Heuzé, Sur les corps finis, Mathématiques et Sciences Humaines, 1974
• André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette Université, 1971