Diviseur de zéro

L'anneau Z des entiers relatifs est intègre, ainsi que le corps commutatif des nombres rationnels, ou réels, ou complexes (tout corps de manière générale).

Dans l'anneau Z/6Z, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 4 × 3 est congru à 0 modulo 6, alors que 3 et 4 ne sont pas congrus à 0 modulo 6.

Plus généralement, dans l'anneau Z/nZ pour n > 0, comme dans tout anneau fini, tout élément régulier est inversible donc les diviseurs de zéro sont exactement les éléments non nuls et non inversibles. Par conséquent (d'après le théorème de Bachet-Bézout) ce sont les classes modulo n des entiers relatifs qui ne sont ni divisibles par n, ni premiers avec n.

L’anneau ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}$ des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes réelles contient des diviseurs de zéro. Par exemple, la matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

est un diviseur de zéro, en effet elle est non nulle, et nous avons

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

Plus généralement les diviseurs de zéro à droite dans une algèbre de matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times m}(K)}$ à coefficients dans un corps ${\displaystyle K}$ sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives. Lorsque ${\displaystyle n=m}$, les diviseurs de zéro à gauche et à droite coïncident et ce sont les matrices non-inversibles.

L'ensemble des fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans lui-même est un anneau qui admet des diviseurs de zéro. En effet si nous prenons la fonction caractéristique des rationnels ainsi que la fonction caractéristique des irrationnels, il est clair que ces deux fonctions sont différentes de la fonction nulle, pourtant leur produit donne bien la fonction nulle, car un nombre réel est rationnel ou bien irrationnel.

Plus généralement, si ${\displaystyle A}$ est une algèbre associative, désignons par ${\displaystyle A_{X}}$ l'algèbre des fonctions ${\displaystyle X\longrightarrow A}$, où ${\displaystyle X}$ est un ensemble non vide quelconque. Les diviseurs de zéro de ${\displaystyle A_{X}}$ sont exactement les fonctions non nulles admettant zéro ou un diviseur de zéro dans leur image.