Théorème de Cesàro (théorie des nombres)

En 1881 Ernest Cesàro répond à une question posée dans la revue Mathesis en affirmant : « Étant donnés deux nombres quelconques, il y a environ 61 à parier contre 39 qu'ils sont premiers entre eux », ce qu'il énonce aussi sous la forme : « la probabilité qu'une fraction est irréductible est 6/π² »[2].

Il avait été précédé indépendamment par Franz Mertens en 1874[3].

Comme ci-dessus, la « probabilité » que deux entiers tirés au hasard indépendamment soient tous les deux divisibles par le nombre premier p est 1/p², et donc la probabilité qu'au moins l'un des deux ne le soit pas est 1 – 1/p². Or deux entiers sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucun diviseur premier en commun. Les évènements liés à des nombres premiers entre eux étant indépendants, la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux est donnée par le produit suivant, effectué sur tous les nombres premiers : ${\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$.

On utilise cette fois la « probabilité » d'une suite infinie d'évènements indépendants, ce qui est incorrect[4].

Des démonstrations rigoureuses figurent dans plusieurs traités de théorie des nombres, comme dans celui de Hardy et Wright[5]^,[6].

La première étape consiste à démontrer que le nombre de couples N_n d'entiers premiers entre eux de ⟦1,n⟧² est égal à ${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}}$ où μ est la fonction de Möbius et d'en déduire que la densité cherchée ${\displaystyle D=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {N_{n}}{n^{2}}}}$ est égale à ${\displaystyle \sum _{d=1}^{\infty }{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}}$. On montre ensuite que le produit de Cauchy des deux séries ${\displaystyle \sum _{d=1}^{\infty }{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}}$ et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ est égal à 1, d'où ${\displaystyle D={1 \over {\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}}={6 \over {\pi ^{2}}}}$.

Pour les k-uplets d'entiers premiers entre eux dans leur ensemble, on obtient ${\displaystyle N_{n}=\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor ^{k}}$, qui aboutit bien à une densité ${\displaystyle D=\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {\mu (d)}{d^{k}}}={1 \over {\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{4}}}}}={\frac {1}{\zeta (k)}}}$.

La suite ${\displaystyle (N_{n})}$ est la suite A018805 de l'OEIS pour k = 2, et la suite A071778 de l'OEIS pour k = 3.

La densité des couples d'entiers premiers entre eux est la même que celle des entiers sans facteur carré. Cela vient de ce que la probabilité qu'un entier de ⟦1,n⟧ soit sans facteur carré est égale à ${\displaystyle {1 \over n}\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\frac {n}{d^{2}}}\right\rfloor }$ et a donc la même limite ${\displaystyle D=\sum _{d=1}^{+\infty }{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$[5].

En bleu, courbe de ${\displaystyle \varphi (n)}$  ; en vert, courbe de ${\displaystyle 2{\frac {\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)}{n}}}$ ; en cyan, courbe de ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}}$ ; en rouge, courbe de ${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}n}$.

L'indicatrice d'Euler ${\displaystyle \varphi (b)}$ est le nombre de couples (a , b) d'entiers premiers entre eux avec ${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant b}$ ; excepté le couple (1, 1), ces couples sont formés d'entiers distincts, donc le nombre N_n est égal à ${\displaystyle 2(\varphi (1)+\varphi (2)+...+\varphi (n))-1}$.

Le théorème de Cesàro est donc équivalent au fait que ${\displaystyle {\frac {\varphi (1)+\varphi (2)+...+\varphi (n)}{n}}\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}n}$.

On en déduit aussi que la suite ${\displaystyle \left({\frac {\varphi (n)}{n}}\right)}$ converge au sens de Cesàro vers 6/π², ce qui signifie que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6}{\pi ^{2}}}n}$ [7].