Théorème d'Ostrowski

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|^c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Valeur absolue

Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant :

Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): \forall x\in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0~;
Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): \forall (x,y)\in K^{2},\ |x\times y|=|x|\times |y|~;
Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): \forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq |x|+|y|.

L'application $(x, y) \mapsto | y - x |$ est alors une distance sur K.

Si la valeur absolue vérifie la condition $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq \max(|x|,|y|),$ plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale | ∙ |₀ sur un corps est définie par Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): |x|_{0}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\1&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}

Valeur absolue usuelle

La valeur absolue usuelle | ∙ |_$\infty$ sur ℚ est définie par Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): |x|_{\infty }={\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0\\-x&{\text{si }}x<0.\end{cases}}

Valeur absolue p-adique

Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul $x$ s'écrit de manière unique sous la forme Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): {\displaystyle x=p^n\frac ab} où Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): n , $a$ sont des entiers relatifs, $b$ est un entier strictement positif tels que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, et $p$ ne divise ni $a$ ni $b$ .

L'entier $n$ est la valuation p-adique de $x$ . La valeur absolue p-adique | ∙ |_p sur ℚ est alors définie par $|x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-n}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$

Elle est ultramétrique.

Valeurs absolues équivalentes

Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif.

Théorème d'Ostrowski

Théorème[2] — Toute valeur absolue non triviale sur ℚ est équivalente à la valeur absolue usuelle | ∙ |_$\infty$ ou à l'une des valeurs absolues p-adiques | ∙ |_p où p est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnels

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Notes et références

Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.
(de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung $\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (xy)$ », Acta Mathematica, vol. 41, n^o 1,‎ 1916, p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).

Voir aussi

Bibliographie

(en) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, AMS, 1996, 2^e éd., 276 p. (ISBN 978-0-8218-0429-2, lire en ligne)
(en) Nathan Jacobson, Basic Algebra : II, vol. II, W. H. Freeman, 1989, 2^e éd., 686 p. (ISBN 978-0-7167-1933-5)

Liens externes

Abdellah Bechata, « Une démonstration du théorème d'Ostrowski »
(en) Keith Conrad, « Ostrowski for number fields »
(en) Keith Conrad, « Ostrowski's theorem for F(T) »

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.

[2] (de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung $\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (xy)$ », Acta Mathematica, vol. 41, n^o 1,‎ 1916, p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).