Test de normalité

Il est possible de visualiser la forme de la distribution des données à analyser en les représentant sous forme d'histogramme puis de comparer la forme de cet histogramme avec une courbe représentant une loi normale (les paramètres de cette loi étant calculés à partir des données à analyser). Ceci ne permet pas de conclure à la normalité des données mais peut donner une idée du type de loi sous-jacente : loi normale, loi de Cauchy ou loi de Student si la distribution semble symétrique, loi log-normale, loi gamma, loi de Weibull, loi exponentielle ou loi bêta si la distribution est asymétrique.

Comparaison de deux échantillons de 5000 tirages : à gauche, un tirage selon la loi normale centrée réduite, à droite, un tirage selon une loi décentrée (convolution de deux lois normales non centrées).

Il est également possible de représenter l'histogramme des résidus (c'est-à-dire la différence entre la distribution observée et la loi normale). Les résidus doivent suivre également une loi normale.

Une boîte à moustaches permet de visualiser rapidement la symétrie de la distribution des données réelles et la présence de valeurs atypiques.

Les Coefficients d'asymétrie et d'aplatissement sont également utiles pour définir une loi normale.

Pour l'aplatissement : ${\displaystyle ~G_{2}={\frac {(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{4}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}$

et pour l'asymétrie : ${\displaystyle G_{1}={\frac {n}{(n-1)\,(n-2)}}\;\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{3}}$

avec ${\displaystyle \sigma }$ est la racine d'un estimateur non biaisé de la variance.

On sait effectivement que le coefficient d'asymétrie vaut zéro pour toute loi normale, tandis que le coefficient d'aplatissement vaut 3 (0 si normalisé)

Les tests de normalité sont des tests d'hypothèse. En notant ${\displaystyle F(x)}$ la fonction de répartition basée sur les données à analyser et ${\displaystyle F_{0}(x)}$ la fonction de répartition théorique, les hypothèses nulle et alternative peuvent s'écrire :

${\displaystyle {\begin{cases}{H_{0}~:~F(x)=F_{0}(x)}\\{H_{1}~:~F(x)\neq F_{0}(x)}\end{cases}}}$.

Les tests sur les moments ont une hypothèse moins forte, ils ne testent pas si la fonction de répartition est normale, mais si les moments (coefficients d'asymétrie et d'aplatissement) de la distribution inconnue sont identiques à ceux d'une loi normale: ${\displaystyle H_{0}:G_{1}=0{\mbox{ et }}G_{2}=3\,}$

${\displaystyle H_{1}:G_{1}\neq 0{\mbox{ ou }}G_{2}\neq 3\,}$

On remarquera que ce n'est pas suffisant pour caractériser une loi normale (Problème des moments).

Son utilisation n'est pas recommandée du fait de son manque de puissance et de la nécessité de diviser les distributions en classes[2].

• Cours de statistique de R. Rakotomalala - Tests de normalité.
• Exemple pratique de tests de normalité dans Tanagra.
• Informations sur les tests de normalité de la librairie nortest de R.
• Tester l'adéquation à la loi normale.

• Portail des probabilités et de la statistique