Système de fonctions itérées

Un IFS est une famille S de N fonctions contractantes ${\displaystyle T_{i}:M\to M}$ dans un espace métrique complet M[2]^,[3].

On définit à partir des T_i une nouvelle fonction T, elle aussi contractante sur l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression ${\displaystyle T(A)=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(A)}$, appelée opérateur de Hutchinson de S[1].

Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble F de M fixe par T.

F est appelé attracteur de l'IFS et noté |S|.

Remarques

• En pratique, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite (K, T(K), T(T(K)), ...), autrement dit l'orbite de K[4]. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers |S|. C'est de là que vient le terme d'itéré[5].

• La plupart des fonctions des IFS classiques sont des fonctions affines[6]^,[7]^,[5].

• On appelle flame IFS des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.

En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé qu'est appliqué le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(Rⁿ) des compacts non vides de Rⁿ, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, F est lui-même un espace compact non vide de Rⁿ, c'est-à-dire un fermé borné. Il doit aussi être précisé en quoi F est une fractale. En réécrivant l'égalité T(F) = F, est obtenu : ${\displaystyle F=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(F)}$. C'est l'égalité qui traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski[8]...). Le caractère d'autosimilarité est ici parfaitement définissable mathématiquement, et au moins exploitable dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980[1].

Attracteur d'une famille de 3 contractions affines(ifs)

De la construction de l'IFS, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application T_i est contractante de rapport k_i, et que T_i(|S|) est disjoint à T_j(|S|), pour tout i, j ≤ N avec i ≠ j, alors la dimension de S est le réel d vérifiant :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}^{d}=1.}$

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant[9] :

Théorème — Soit (Y,d) un espace métrique. Soit X un compact non vide de Y. Soit H(X) l'ensemble des compacts non vides de X. Soit f : X → Y continue et telle que X soit contenue dans f(X). Alors

1. pour tout compact non vide B de X, f ^–1(B) est un compact non vide de X et on peut donc définir une application W : H(X) → H(X) par W(B) = f ^–1(B)
2. W possède un point fixe A donné par

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow +\infty }W^{n}(X)=\lim _{n\rightarrow +\infty }\underbrace {W\circ W\circ ...\circ W} _{n}(X).}$

On a aussi ${\displaystyle A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f^{-n}(X).}$

Exemples

• Le cas f(z)=z² fournit le disque unité.
• Le cas f(z)=z² – 1 fournit l'ensemble de Julia rempli associé, noté[10] J_-1. On peut prendre pour X le carré de centre 0 et de côté 4.

• On a[9], de façon générale,${\displaystyle A=\left\{x\in X:\forall n=0,1,2...f^{n}(x)\in {X}\right\}}$. Autrement dit, A est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de X, où l'on appelle[4] orbite d'un point ${\displaystyle x\in X}$ la suite (x, f(x), f²(x), ...).

La fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines.

• L'ensemble de Cantor

• Le tapis de Sierpiński, défini par 8 similitudes de rapports 1/3.
• La fougère de Barnsley, construite à partir de quatre contractions affines (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration).
• La courbe de Takagi, attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2[11].
• La courbe de Koch et la courbe de Cesaro.
• L'escalier du diable[12]
• La courbe de Hilbert[13].
• La courbe de Lévy
• La courbe du dragon
• L'éponge de Menger
• Un arbre fractal[14]