Suite régularisante

Une suite ${\displaystyle (\varphi _{n})}$ de fonctions tests (c.-à-d. C^∞ à support compact) sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ est dite régularisante si[1]^,[2]^,[3], pour tout indice ${\displaystyle n}$ :

• ${\displaystyle \varphi _{n}\geq 0}$ ;
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi _{n}(x)\,\mathrm {d} x=1}$ ;
• le support de ${\displaystyle \varphi _{n}}$ est inclus dans une boule ${\displaystyle B(0,\varepsilon _{n})}$
  avec ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varepsilon _{n}=0}$[4] : les fonctions sont donc de plus en plus resserrées autour de l'origine[5].

La fonction ${\displaystyle \psi }$ en dimension 1.

La façon la plus simple de construire une suite régularisante[6] est de partir d'une fonction régularisante, c.-à-d.[7] une fonction ${\displaystyle \varphi }$, C^∞ à support compact, positive et d'intégrale 1 (sur ℝ^d), et de poser[8] ${\displaystyle \varphi _{n}(x):=n^{d}\varphi (nx)}$.

Une telle fonction ${\displaystyle \varphi }$ existe[9]^,[8] : il suffit par exemple de considérer la fonction ${\displaystyle \psi }$ sur ℝ^d définie par

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\tfrac {1}{1-|x|^{2}}}\right)&{\text{ si }}|x|<1\\0&{\text{ si }}|x|\geq 1\end{cases}}}$

(où ${\displaystyle |~~|}$ désigne la norme euclidienne) puis, en notant ${\displaystyle c}$ l'intégrale de ${\displaystyle \psi }$, de poser

${\displaystyle \varphi$ :={\frac {1}{c}}\psi } .

Cette fonction régularisante est même symétrique, c.-à-d.[7] que ${\displaystyle \varphi (x)}$ ne dépend que de ${\displaystyle |x|}$.

Les suites régularisantes sont principalement utilisées en théorie des distributions, afin de passer d'un problème sur des fonctions généralisées à une restriction aux fonctions régulières, plus simples à manier[9].

La convolée d'une distribution ${\displaystyle T}$ par une fonction test ${\displaystyle \varphi }$ est une fonction de classe C^∞, dont le support est inclus dans la somme de Minkowski du support de ${\displaystyle \varphi }$ et du support de la distribution ${\displaystyle T}$.

Soit ${\displaystyle T}$ une distribution et ${\displaystyle (\varphi _{n})}$ une suite régularisante. Alors la suite des distributions régulières associées aux fonctions ${\displaystyle T\ast \varphi _{n}}$ converge vers ${\displaystyle T}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$, autrement dit : ${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {D}}\quad \varphi _{n}\ast f\to f}$ (dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$). Plus généralement[10] :

Les suites régularisantes sont utilisées pour démontrer la densité des fonctions continues dans des espaces fonctionnels plus généraux, comme les espaces L^p ou de Sobolev[12].

Elles sont également utilisées pour montrer l'équivalence des formulations faibles et fortes d'équations différentielles au sens des distributions.

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