Suite récurrente linéaire

Si une suite u vérifie

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}\quad (R)}$

alors, elle peut être étendue aux indices négatifs et reliée aux puissances de la matrice (appelée matrice compagnon du polynôme caractéristique)

${\displaystyle P:={\begin{pmatrix}a&b\\1&0\end{pmatrix}}}$

(inversible puisque b ≠ 0) par :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} \quad {\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}}=P^{n}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{0}\end{pmatrix}}}$.

Ceci permet de montrer que pour v égale à u ou à toute autre suite vérifiant la même relation de récurrence (R) et pour tous entiers i, j, k, l et r[2]^,[3] :

${\displaystyle i+j=k+l\Rightarrow u_{i+r}v_{j+r}-u_{k+r}v_{l+r}=(-b)^{r}(u_{i}v_{j}-u_{k}v_{l})}$.

En particulier :

${\displaystyle {\text{si }}u_{0}=0{\text{ alors}}\quad \forall m,n,r\in \mathbb {Z} \quad u_{n}v_{m+r}-u_{r}v_{m+n}=(-b)^{r}u_{n-r}v_{m}}$.

Si l'on appelle ${\displaystyle (R_{p})}$ la relation de récurrence :

pour tout entier n, ${\displaystyle u_{n+p}=a_{0}u_{n}+a_{1}u_{n+1}+\cdots +a_{p-1}u_{n+p-1}}$

et si l'on note ${\displaystyle E_{R_{p}}}$, l’ensemble des suites à valeurs dans K et vérifiant ${\displaystyle (R_{p})}$, on démontre que ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites à valeurs dans K. Cela tient à la linéarité de la relation de récurrence.

De plus, ce sous-espace est de dimension p. En effet, il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels entre ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ et ${\displaystyle K^{p}}$ : à chaque suite u de ${\displaystyle E_{R_{p}}}$, on associe le p-uplet ${\displaystyle (u_{0},u_{1},\cdots ,u_{p-1})}$. Il suffit alors de connaître une famille libre de p suites vérifiant ${\displaystyle (R_{p})}$, l’ensemble ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ est alors engendré par cette famille libre.

La recherche du terme général et des suites particulières s’effectue en travaillant sur ${\displaystyle K^{p}}$. À chaque suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ on associe la suite ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ définie par

${\displaystyle U_{n}={\begin{pmatrix}u_{n}\\u_{n+1}\\\vdots \\u_{n+p-1}\end{pmatrix}}.}$

La relation de récurrence sur ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ induit une relation de récurrence sur ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle U_{n+1}=AU_{n}}$ où

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &0&1\\a_{0}&a_{1}&\cdots &\cdots &a_{p-1}\end{pmatrix}}}$

(A est la matrice compagnon du polynôme caractéristique de la suite).

Le terme général de la suite U est alors déterminé par[4]

${\displaystyle U_{n}=A^{n}U_{0}.}$

Le problème semble alors terminé. Mais la réelle difficulté consiste alors à calculer ${\displaystyle A^{n}}$… On préfère déterminer une base de ${\displaystyle E_{R_{p}}}$.

Le polynôme caractéristique de la matrice A est ${\displaystyle P(X)=X^{p}-\sum _{i=0}^{p-1}a_{i}X^{i}}$. Ce n'est pas un hasard si on le retrouve pour caractériser les suites ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ vérifiant ${\displaystyle R_{p}}$.

On note f la transformation linéaire qui, à une suite ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ associe la suite ${\displaystyle v=(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ définie par ${\displaystyle v_{n}=u_{n+1}}$. La condition « u vérifie ${\displaystyle R_{p}}$ » se traduit alors par P(f)(u) = 0. L'ensemble ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ est donc le noyau de P(f). Si le polynôme P est scindé sur K (ce qui est toujours vrai si K = ℂ), il s'écrit ${\displaystyle P=\prod _{i=1}^{k}(X-r_{i})^{\alpha _{i}}}$, où ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}}$ sont les racines de P et ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}}$ leurs ordres de multiplicité respectifs. Le noyau de P(f) est alors la somme directe des noyaux des ${\displaystyle (f-r_{i}Id)^{\alpha _{i}}}$. Il suffit donc de trouver une base de chacun de ces noyaux pour déterminer une base de ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ .

On peut montrer que toute suite de terme général ${\displaystyle Q(n)r_{i}^{n}}$ est élément du noyau de ${\displaystyle (f-r_{i}Id)^{\alpha _{i}}}$ pour peu que le degré de Q soit strictement inférieur à ${\displaystyle \alpha _{i}}$. Cette démonstration se fait par récurrence sur ${\displaystyle \alpha _{i}}$. Comme les suites ${\displaystyle (n^{j}r_{i}^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, pour j = 0 à ${\displaystyle \alpha _{i}-1}$, forment une partie libre de ${\displaystyle \alpha _{i}}$ éléments[5], les suites ${\displaystyle (n^{j}r_{i}^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, pour j de 0 à ${\displaystyle \alpha _{i}-1}$ et i de 1 à k, forment une famille libre de ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}=p}$ éléments de ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ (de dimension p) donc une base de ${\displaystyle E_{R_{p}}}$. Les éléments de ${\displaystyle E_{R_{p}}}$ sont donc des sommes de suites dont le terme général est ${\displaystyle Q(n)r_{i}^{n}}$ avec degré de Q strictement inférieur à ${\displaystyle \alpha _{i}}$.

Si le polynôme caractéristique se scinde en ${\displaystyle (X-r_{1})(X-r_{2})}$ alors les polynômes Q sont de degré 0 et les éléments de ${\displaystyle E_{R_{2}}}$ sont des suites dont le terme général est ${\displaystyle \lambda _{1}r_{1}^{n}+\lambda _{2}r_{2}^{n}}$.

Si le polynôme caractéristique se scinde en ${\displaystyle (X-r_{0})^{2}}$ alors les polynômes Q sont de degré 1 et les éléments de ${\displaystyle E_{R_{2}}}$ sont des suites dont le terme général est ${\displaystyle (\lambda _{1}n+\lambda _{2})r_{0}^{n}}$.