Sous-additivité

En mathématiques, une fonction f est dite sous-additive lorsque, pour tous les éléments x et y, f(x + y) ≤ f(x) + f(y).

Cela n'a de sens que si l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de la fonction sont munis chacun d'une addition +, et si l'ensemble d'arrivée est muni d'une relation d'ordre ≤.

Des exemples de telles fonctions sont les fonctions puissances ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},\ x\mapsto x^{a}}$ d'exposant ${\displaystyle a\in \left[0,1\right]}$, parmi lesquelles la fonction racine n-ième pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ : ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+y}}\leq {\sqrt[{n}]{x}}+{\sqrt[{n}]{y}}}$.

Plus généralement, toute fonction concave ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ telle que ${\displaystyle f(0)\geq 0}$ est sous-additive[1].