Sommation de Cesàro

Soit :

• ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ une suite réelle ;
• ${\displaystyle S_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$ la somme partielle d'ordre k de la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}}$, somme des k premiers termes de ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$.

On dit que la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}}$ est sommable au sens de Cesàro si la valeur moyenne de ses sommes partielles S_k tend vers ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}S_{k}=A}$.

A est alors la somme de Cesàro de la série. En d'autres termes, la somme de Cesàro d'une série est la limite de la moyenne arithmétique de ses n premières sommes partielles quand n tend vers l'infini.

D'après le lemme de Cesàro, toute série convergente est sommable au sens de Cesàro, et sa somme de Cesàro est égale à la somme de la série. En revanche, il existe des séries divergentes qui sont néanmoins sommables au sens de Cesàro.

En 1890, Ernesto Cesàro décrit une famille plus large de méthodes de sommation qui sont depuis appelées (C, n) pour les entiers positifs n. La méthode (C, 0) est la sommation ordinaire, (C, 1) est la sommation de Cesàro décrite ci-dessus. Les méthodes d'ordre plus élevées sont décrites ainsi :

Soit la suite a_n et la série correspondante ${\displaystyle \sum a_{n}}$. On définit les quantités

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};\quad A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}a_{k}^{\alpha -1}}$

On définit également les quantités E_n correspondant aux valeurs A_n décrites ci-dessus pour la série ${\displaystyle 1+0+0+0+\ldots }$. Alors, la somme (C, α) de ${\displaystyle \sum a_{n}}$ est notée ${\displaystyle (C,\alpha )-\sum a_{n}}$ et possède la valeur

${\displaystyle (C,\alpha )-\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

si elle existe[1]. Cette description représente l'application de la méthode de sommation initiale itérée α fois et peut être reformulée :

${\displaystyle (C,\alpha )-\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {n \choose j}{n+\alpha \choose j}}a_{j}.}$

Encore plus généralement, pour ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus (-\mathbb {N} )}$, soit ${\displaystyle A_{n}^{\alpha }}$ donné implicitement par les coefficients de la série

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

et Eα
n défini comme précédemment (les Eα
n sont les coefficients binomiaux de puissance −1 − α). Alors la somme (C, α) de ${\displaystyle \sum a^{n}}$ est définie comme précédemment.

L'existence d'une sommation (C, α) implique l'existence de toutes les sommations d'ordre supérieure, ainsi que a_n = o(n^α) si α > −1.

Soit α ≥ 0. L'intégrale ${\displaystyle \scriptstyle {\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}}$ est (C, α)-sommable au sens de Cesàro si

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}$

existe et est finie[2]. La valeur de cette limite, si elle existe, est la somme (C, α) de l'intégrale. Si α = 0, le résultat est la convergence de l'intégrale impropre. Si α = 1, la convergence (C, 1) est équivalente à l'existence de la limite

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\int _{0}^{x}f(y)\,dy\right\}\,dx}$

qui est la limite des moyennes des intégrales partielles.

De façon similaire aux séries, si une intégrale est (C,α)-sommable pour une valeur α ≥ 0, elle est également (C,β)-sommable pour tout β > α, et la valeur de la limite résultante est la même.