Équation différentielle linéaire d'ordre deux

Elles sont de la forme ${\displaystyle ay''+by'+cy=0}$ où a, b et c sont réels ou complexes, a non nul (on peut toujours, en divisant par a, se ramener au cas a = 1).

On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec force de rappel (type ressort), avec ou sans amortissement[1] ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur.

On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que f(x) = e^λx. Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si λ est solution de

${\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0.~}$

Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle.

Il s'agit du cas où les coefficients sont des réels et où les solutions sont cherchées parmi les fonctions à valeurs réelles. Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant Δ de l'équation caractéristique.

L'équation caractéristique possède deux solutions réelles λ₁ et λ₂.

Les solutions sont alors les fonctions définies sur ℝ par ${\displaystyle f(x)=A{\rm {e}}^{\lambda _{1}x}+B{\rm {e}}^{\lambda _{2}x}}$ où A et B sont deux réels.

Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction

• cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point x₀, c'est-à-dire en précisant les valeurs y₀ et y'₀ de y et y' à cet instant. Dans ce cas l'existence et l'unicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties.
• pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs y₁ et y₂ aux instants x₁ et x₂. Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce n'est pas toujours vrai.

L'équation caractéristique a une solution double λ.

Les solutions sont alors les fonctions f définies sur ℝ par ${\displaystyle f(x)=(Ax+B){\rm {e}}^{\lambda x}}$ où A et B sont des réels quelconques.

Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f.

L'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées distinctes, u + iv et u - iv.

Les solutions sont alors les fonctions f définies sur ℝ par

${\displaystyle f(x)={\rm {e}}^{ux}(A\cos(|v|x)+B\sin(|v|x))}$ où A et B sont deux réels quelconques.

Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : ${\displaystyle f(x)=q{\rm {e}}^{ux}\cos(|v|x+r)}$, q et r sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique).

La détermination de A et B (ou q et r) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

Dans le cas où les coefficients sont complexes et où les solutions sont cherchées parmi les fonctions de la variable réelle à valeurs complexes, il ne reste alors que deux cas à étudier :

• Si le discriminant est non nul, l'équation caractéristique possède deux racines distinctes : λ₁ et λ₂ et les fonctions de ℝ dans ℂ solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par ${\displaystyle f(x)=C_{1}{\rm {e}}^{\lambda _{1}x}+C_{2}{\rm {e}}^{\lambda _{2}x}}$ où C₁ et C₂ sont deux complexes quelconques.
• Si le discriminant est nul, l'équation caractéristique ne possède qu'une seule solution λ et les solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par ${\displaystyle f(x)=(Ax+B){\rm {e}}^{\lambda x}}$ où A et B sont des complexes quelconques.

La détermination des constantes se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

Il s'agit d'une équation de la forme ${\displaystyle ay''+by'+cy=0}$, où cette fois a, b et c sont des fonctions numériques, supposées continues sur l'intervalle d'étude I, la fonction a ne s'annulant en aucun point de I (on peut toujours, en divisant par a, se ramener au cas a = 1).

Il n'existe pas d'expression générale des solutions d'une telle équation. C'est pour cette raison qu'au XIX^e siècle furent introduites de nombreuses fonctions spéciales (fonctions de Bessel, fonction d'Airy…) définies comme solutions d'équations qu'il est impossible de résoudre explicitement. Toutefois, dès lors qu'une solution particulière (non nulle) de l'équation est connue, il est possible de la résoudre complètement.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que l'ensemble S des solutions de l'équation constitue un espace vectoriel de dimension 2. Dès lors, résoudre l'équation différentielle revient à exhiber deux fonctions solutions non proportionnelles : elles formeront une base de l'espace S de solutions. Une telle base est appelée système fondamental de solutions.

En outre, pour tout point x₀ de I, l'application de conditions initiales en x₀

${\displaystyle {\begin{matrix}S&\longrightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\y&\longmapsto &(y(x_{0}),y'(x_{0}))\end{matrix}}}$

constitue un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Étant données deux solutions ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ de l'équation, leur wronskien est défini comme la fonction

${\displaystyle W(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)y'_{2}(x)-y_{2}(x)y'_{1}(x)}$

En utilisant les propriétés d'annulation du déterminant, l'isomorphisme de conditions initiales peut être réécrit en termes de wronskien : les deux solutions forment un système fondamental si et seulement si leur wronskien est non nul en un point. Et dans ce cas, le wronskien ne s'annule en aucun point.

Un calcul direct montre que le wronskien de deux solutions vérifie la relation

${\displaystyle W'(x)=-{\frac {b(x)}{a(x)}}W(x)}$

qui est un cas particulier de la formule de Liouville.

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 (sans second membre) qu'on sait résoudre. Donc la valeur du wronskien est connue, à une constante multiplicative près en notant A une primitive de la fonction ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}}$, on obtient ${\displaystyle W(x)=W_{0}{\rm {e}}^{A(x)}}$ pour une certaine constante W₀.

Une application fondamentale de cette propriété est la possibilité de résoudre l'équation si une solution y₁ non nulle est connue. En effet la relation ${\displaystyle W(x)=y_{1}(x)y'_{2}(x)-y_{2}(x)y'_{1}(x)}$ peut maintenant se lire comme une nouvelle équation différentielle linéaire d'ordre 1, d'inconnue y₂.

Exemple

Soit l'équation ${\displaystyle x^{2}y''-xy'+y=0}$ à résoudre sur ${\displaystyle ]0,+\infty [.}$

Il s'agit bien d'une équation vérifiant les conditions demandées avec les fonctions a, b, c continues sur l'intervalle d'étude et a jamais nulle. La fonction définie par y₁(x) = x est solution évidente. Le wronskien vérifie l'équation ${\displaystyle W'(x)={\frac {1}{x}}W(x)}$ ; il est de la forme${\displaystyle W(x)=W_{0}x=xy'_{2}(x)-y_{2}(x)}$

C'est bien une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec la fonction x non nulle sur l'intervalle. Elle a une solution de la forme${\displaystyle y_{2}(x)=W_{0}x\ln x+Ax}$

où A est une nouvelle constante arbitraire. Nous venons d'établir que toutes les solutions de l'équation d'ordre 2 initialement considérée sont de cette forme, on y reconnaît bien la description d'un espace vectoriel de dimension 2 de solutions, un système fondamental étant donnée par les solutions ${\displaystyle y_{1}:x\mapsto x}$ et ${\displaystyle x\mapsto x\ln x}$.

Lorsque l'équation différentielle possède un second membre (d est une fonction non nulle), il reste possible d'exploiter ce qui précède. L'équation obtenue en remplaçant d par la fonction nulle est appelée équation homogène associée à l'équation différentielle ; on la suppose résolue.

Il suffit alors de trouver une solution y₀ de l'équation avec second membre, pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions y₀ + g où g est une solution générale de l'équation homogène associée.

Si le second membre d est la somme de deux fonctions d₁ et d₂ : ${\displaystyle ay''+by'+cy=d_{1}+d_{2}}$, on peut chercher une solution particulière s₁ de l'équation différentielle de second membre d₁ : ${\displaystyle ay''+by'+cy=d_{1}}$, puis une solution particulière s₂ de l'équation différentielle de second membre d₂ : ${\displaystyle ay''+by'+cy=d_{2}}$. La somme s = s₁ + s₂ de ces deux solutions particulières est solution particulière de l'équation de départ. Ce principe se généralise facilement au cas où d est la somme de plus de deux fonctions.

On remarquera que les constantes d'une solution doivent être déterminées en toute fin de résolution, lorsque l'on a additionné la solution générale de l'équation homogène et la (ou les) solution(s) particulière(s) de l'équation (ou des équations) inhomogènes.

Si a, b et c sont des constantes (a non nul) et si d est produit d'une fonction polynomiale, d'une fonction trigonométrique et d'une fonction exponentielle, on cherche une solution particulière de la même forme. Plus précisément :

Si d est de la forme

${\displaystyle d:x\mapsto {\rm {e}}^{mx}(A(x)\cos(\omega x)+B(x)\sin(\omega x))}$

où A et B sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n et où m et ω sont des réels, il existe une unique solution de la forme

${\displaystyle y:x\mapsto x^{p}{\rm {e}}^{mx}(\alpha (x)\cos(\omega x)+\beta (x)\sin(\omega x))}$

où α et β sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n et p peut prendre trois valeurs :

Ceci inclut le cas où les « polynômes » A et B sont simplement des constantes (n = 0), dont l'une peut être nulle, et/ou d ne contient pas d'exponentielle (m = 0) et/ou pas de fonction trigonométrique (ω = 0).

Exemples

• Prenons l'équation différentielle suivante :

${\displaystyle {\ddot {y}}(x)+\omega _{0}^{2}y(x)={\frac {g}{m}}\qquad (E)}$

où ω₀ est une constante non nulle. On est dans le cas p = 0. On cherche donc une solution particulière constante :

${\displaystyle y(x)=K.}$

On calcule les dérivées par rapport à x :

${\displaystyle y(x)=K}$ ${\displaystyle {\dot {y}}(x)={\ddot {y}}(x)=0}$

L'équation (E) devient alors :

${\displaystyle K\omega _{0}^{2}={\frac {g}{m}}}$

et l'on trouve alors une solution de l'équation inhomogène :

${\displaystyle y(x)=K={\frac {g}{m\omega _{0}^{2}}}.}$

• Si on a une équation du type

${\displaystyle {\ddot {y}}(x)+b{\dot {y}}(x)=d,}$

avec b non nul, on est dans le cas p = 1. On cherche donc une solution particulière de la forme Kt.

• Soit une équation différentielle de la forme

${\displaystyle {\ddot {y}}(x)+\Gamma {\dot {y}}(x)+\omega _{0}^{2}y(x)=A_{0}\cos(\omega _{e}x)\qquad (E)}$

(c'est l'équation différentielle régissant un oscillateur harmonique périodique qui subit des frottements en présence d'une force extérieure).

On sait qu'il existe dans ce cas une solution de la forme :

${\displaystyle y(x)=B\cos(\omega _{e}x+\phi )}$

On peut utiliser la notation de l'exponentielle complexe en prenant ${\displaystyle Y(x)=B{\rm {e}}^{{\rm {i}}(\omega _{e}x+\phi )}}$. En posant ${\displaystyle B{\rm {e}}^{{\rm {i}}\phi }=\Delta }$, on obtient ${\displaystyle \Delta {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega _{e}t}}$ telle que la partie réelle de Y(t) soit la solution de l'équation différentielle considérée. On calcule alors les dérivées en temps :

${\displaystyle Y(x)=\Delta {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega _{e}x}}$

${\displaystyle {\dot {Y}}(x)={\rm {i}}\omega _{e}\Delta {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega _{e}x}={\rm {i}}\omega _{e}Y(x)}$

${\displaystyle {\ddot {Y}}(x)=-\omega _{e}^{2}\Delta {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega _{e}x}=-\omega _{e}^{2}Y(x).}$

On injecte ces trois équations dans l'équation différentielle et on trouve :

${\displaystyle (-\omega _{e}^{2}+\Gamma {\rm {i}}\omega _{e}+\omega _{0}^{2})\Delta {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega _{e}x}=A_{0}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega _{e}x}.}$

On simplifie par les deux exponentielles (qui sont non nulles) :

${\displaystyle [(\omega _{0}^{2}-\omega _{e}^{2})+{\rm {i}}(\omega _{e}\Gamma )]\Delta =A_{0}}$

et l'on trouve alors que

${\displaystyle \Delta ={\frac {A_{0}}{(\omega _{0}^{2}-\omega _{e}^{2})+{\rm {i}}(\omega _{e}\Gamma )}}.}$

Ainsi, la constante B est égale au module de ce nombre complexe et la phase Φ à son argument :

${\displaystyle |\Delta |=B={\frac {A_{0}}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega _{e}^{2})^{2}+(\omega _{e}\Gamma )^{2}}}}}$

et

${\displaystyle \arg(\Delta )=\phi =\arctan \left({\frac {\operatorname {Im} (\Delta )}{\operatorname {Re} (\Delta )}}\right)=\arctan \left({\frac {\omega _{e}\Gamma }{\omega _{e}^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right).}$

Ainsi, une solution particulière de l'équation inhomogène (E) est

${\displaystyle y(x)={\frac {A_{0}}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega _{e}^{2})^{2}+(\omega _{e}\Gamma )^{2}}}}\cos \left(\omega _{e}x+\arctan \left({\frac {\omega _{e}\Gamma }{\omega _{e}^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)\right)}$

Il est à noter que cette « méthode de l'exponentielle complexe » ne peut pas être appliquée pour une équation de la forme

${\displaystyle {\ddot {y}}(x)+\omega _{0}^{2}y(x)=\cos(z(x)x+\phi ).}$

Dans ce cas, il faut linéariser l'expression en utilisant les développements limités.

Des considérations physiques (oscillations forcées, résonance) peuvent aussi guider vers une forme particulière de solution.

Il existe un procédé systématique de recherche des solutions, connu sous le nom de méthode de variation des constantes. Elle peut être justifiée par la théorie générale des équations différentielles linéaires.

Soit l'équation ${\displaystyle y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=d(x)}$, soient deux solutions ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ indépendantes de l'équation homogène (donc un système fondamental de solutions). Alors les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme ${\displaystyle y=\lambda \cdot y_{1}+\mu \cdot y_{2}\,}$, où les fonctions ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ sont de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ et données par le système

${\displaystyle \forall x\in I,\qquad {\begin{cases}\lambda '(x)\cdot y_{1}(x)+\mu '(x)\cdot y_{2}(x)&=0\\\lambda '(x)\cdot y'_{1}(x)+\mu '(x)\cdot y'_{2}(x)&=d(x)\end{cases}}}$

Dans la pratique, on écrira donc ce système, qui admet une solution pour chaque x. Les fonctions solutions peuvent être primitivées et on obtient non seulement une mais toutes les solutions de l'équation avec second membre (si l'on prend en compte les constantes d'intégration dans ce système).

Remarque. Si une fonction multiplie ${\displaystyle y''}$ , on pourra diviser toute l'équation par cette fonction afin de revenir au cas étudié ici.

En physique, on utilise souvent l'équation différentielle

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\lambda {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=y}$

L'équation différentielle homogène associée

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\lambda {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=0}$

possède selon le signe de ${\displaystyle \lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}$ les solutions suivantes :

• ${\displaystyle \lambda ^{2}>\omega _{0}^{2}:x(t)={\rm {e}}^{-\lambda t}\left(A{\rm {e}}^{\alpha t}+Be^{-\alpha t}\right)}$, avec ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$, dit régime apériodique,
• ${\displaystyle \lambda ^{2}=\omega _{0}^{2}:x(t)={\rm {e}}^{-\lambda t}\left(At+B\right)}$, dit régime critique,
• ${\displaystyle \lambda ^{2}<\omega _{0}^{2}:x(t)={\rm {e}}^{-\lambda t}\left(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\right)}$, avec ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}}$, dit régime pseudo-périodique.

On note aussi cette équation différentielle ${\displaystyle {\ddot {x}}+2\lambda {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=y}$ (en fonction du temps).

On peut également avoir une équation différentielle de la forme ${\displaystyle a{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+cx=d}$. Dans ce cas, ${\displaystyle 2\lambda ={\frac {b}{a}},\omega _{0}^{2}={\frac {c}{a}}}$ et ${\displaystyle y={\frac {d}{a}}}$.