Série de Kempner

La série de Kempner est une série obtenue à partir de la série harmonique en excluant tous les termes dont le dénominateur, exprimé en base dix, contient le chiffre 9. La somme des termes de cette série s'écrit :

{\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}

où le prime dans ${\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}$ signifie que $n$ ne prend que les valeurs dont le développement décimal ne contient pas de 9.

Son intérêt réside dans le fait que contrairement à la série harmonique, elle converge. Ce résultat fut démontré en 1914 par Aubrey J. Kempner (en)[1].

Démonstration

La preuve est élémentaire : les entiers à n chiffres ne contenant pas de 9 ont un premier chiffre compris entre 1 et 8 et les n − 1 suivants entre 0 et 8 ; il y en a donc 8(9ⁿ⁻¹), et chacun d'eux est minoré par 10ⁿ⁻¹, donc la série de Kempner est majorée par la série géométrique

8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80

.

Sa somme exacte vaut 22,92067... , voir la suite A082839 de l'OEIS.

Généralisation

La preuve de convergence est la même en remplaçant 9 par tout autre chiffre et la base dix par toute autre base, et la généralisation à toute séquence finie de chiffres de longueur autre que 1 s'en déduit facilement[2].

Ainsi, si par exemple on omet le chiffre 0, on obtient la borne supérieure

9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90

,

et une convergence vers 23,10344...[3]^,[4], voir la suite A082839 de l'OEIS.

Lien avec la densité logarithmique

Ce résultat entraine que tous ces ensembles d'entiers naturels $A_{s}$ dont l'écriture en base b ne comporte pas la séquence s ont une densité logarithmique ${\text{D}}_{\log }(A_{s})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\dfrac {\sum _{k\in [1,n]\cap A_{s}}{\dfrac {1}{k}}}{{\underset {k\in [1,n]}{\sum }}{\dfrac {1}{k}}}}$ nulle.

Vitesse de convergence

Cette série converge extrêmement lentement.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kempner series » (voir la liste des auteurs).

(en) A. J. Kempner, « A Curious Convergent Series », Amer. Math. Monthly, vol. 21, n^o 2,‎ février 1914, p. 48-50 (JSTOR 2972074).
(en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5^e éd. (1^re éd. 1938) [détail des éditions], chapitre 9 (« L'écriture décimale des nombres »), théorèmes 143 et 144.
F. Le Lionnais, Les Nombres Remarquables, p. 81.
(en) R. P. Boas, Jr. et J. W. Wrench, Jr, « Partial Sums of the Harmonic Series », The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 8,‎ octobre 1971, p. 864-870 (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Kempner Series », sur MathWorld

Bibliographie

(en) Robert Baillie, « Summing The Curious Series of Kempner and Irwin », 2008, 2015 (arXiv 0806.4410)
(en) Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, 304 p. (ISBN 978-0-691-14133-6, lire en ligne), p. 31-32

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[1] (en) A. J. Kempner, « A Curious Convergent Series », Amer. Math. Monthly, vol. 21, n^o 2,‎ février 1914, p. 48-50 (JSTOR 2972074).

[2] (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5^e éd. (1^re éd. 1938) [détail des éditions], chapitre 9 (« L'écriture décimale des nombres »), théorèmes 143 et 144.

[3] F. Le Lionnais, Les Nombres Remarquables, p. 81.

[4] (en) R. P. Boas, Jr. et J. W. Wrench, Jr, « Partial Sums of the Harmonic Series », The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 8,‎ octobre 1971, p. 864-870 (lire en ligne)