Relation d'équivalence

Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Plus explicitement :

• ~ est une relation binaire sur E : un couple (x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y.
• ~ est réflexive : pour tout élément x de E, on a x ~ x.
• ~ est symétrique : chaque fois que deux éléments x et y de E vérifient x ~ y, ils vérifient aussi y ~ x.
• ~ est transitive : chaque fois que trois éléments x, y et z de E vérifient x ~ y et y ~ z, ils vérifient aussi x ~ z.

Par réflexivité, E coïncide alors avec l'ensemble de définition de ~ (qui se déduit du graphe par projection). Inversement, pour qu'une relation binaire sur E symétrique et transitive soit réflexive, il suffit que son ensemble de définition soit E tout entier[1].

On peut aussi définir une relation d'équivalence comme une relation binaire réflexive et circulaire[2].

Une relation binaire ~ est dite circulaire si chaque fois qu'on a x ~ y et y ~ z, on a aussi z ~ x.

Étant donnée une relation d'équivalence ~ sur E, l'ensemble quotient de E par la relation ~, noté E/~, est le sous-ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ des classes d'équivalence :

${\displaystyle {E/\sim }~=~\{[x]\in {\mathcal {P}}(E)\mid x\in E\}.}$

L'ensemble quotient peut aussi être appelé « l'ensemble E quotienté par ~ » ou « l'ensemble E considéré modulo ~ ». L'idée derrière ces appellations est de travailler dans l'ensemble quotient comme dans E, mais sans distinguer entre eux les éléments équivalents selon ~.

L'application canonique p, de E dans l'ensemble quotient, qui à chaque élément de E associe sa classe d'équivalence :

${\displaystyle {\begin{matrix}p:&E&\rightarrow &{E/\sim }\\&x&\mapsto &[x]\end{matrix}}}$

• est surjective par construction car ${\displaystyle E/\sim }$ est l'image de l'application ${\displaystyle x\mapsto [x]}$ de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$;
• n'est en général pas injective (sauf si ~ est l'égalité), puisqu'on a seulement ${\displaystyle p(x)=p(y)\Leftrightarrow x\sim y.}$

Elle vérifie la propriété universelle suivante, qui exprime que toute application définie sur E dont la relation d'équivalence associée est moins fine que ~ « passe au quotient » E/~ de façon unique :

Cette application g — qui a donc même image que f — est injective si et seulement si x ~ y ⇔ f(x) = f(y).

Si E est muni d'une structure algébrique, il est possible de transférer cette dernière à l'ensemble quotient, sous réserve que la structure soit compatible (en) avec la relation d'équivalence, c'est-à-dire que deux éléments de E se comportent de la même manière vis-à-vis de la structure s'ils appartiennent à la même classe d'équivalence. L'ensemble quotient est alors muni de la structure quotient de la structure initiale par la relation d'équivalence.

Par exemple si ⊤ est une loi interne sur E compatible avec ~, c'est-à-dire vérifiant

(x ~ x' et y ~ y') ⇒ x⊤y ~ x'⊤y',

la « loi quotient de la loi ⊤ par ~ » est définie comme « la loi de composition sur l'ensemble quotient E/~ qui, aux classes d'équivalence de x et de y, fait correspondre la classe d'équivalence de x ⊤ y. »[4]

(Plus formellement : en notant p la surjection E × E → E/~ × E/~, (x, y) ↦ ([x], [y]) et f l'application E × E → E/~, (x, y) ↦ [x⊤y], l'hypothèse de compatibilité se réécrit p(x, y) = p(x', y') ⇒ f(x, y) = f(x', y'). En appliquant le théorème de factorisation ci-dessus, on peut donc définir la loi quotient comme l'unique application g : E/~ × E/~ → E/~ telle que f = g∘p.)

Exemples

• Sur le corps ordonné des réels, la relation « a le même signe que » (comprise au sens strict) a trois classes d'équivalence :
  • l'ensemble des entiers strictement positifs ;
  • l'ensemble des entiers strictement négatifs ;
  • le singleton {0}.

La multiplication est compatible avec cette relation d'équivalence et la règle des signes est l'expression de la loi quotient.

• Si E est muni d'une structure de groupe, on associe à tout sous-groupe normal une relation d'équivalence compatible, ce qui permet de définir un groupe quotient.