Raisonnement par l'absurde

On parle d'apagogie positive ou de démonstration par l'absurde simple quand la conclusion affirme la vérité d'une proposition, non en l'établissant directement par une démonstration tirée de la nature même de la chose, mais indirectement, en faisant voir que la proposition contraire est absurde. On conclut de la fausseté de l'une à la vérité de l'autre.

Par exemple, Spinoza démontre par l'absurde que « la production d'une substance est chose absolument impossible » (Éthique I, proposition VI, corollaire). En effet, si une substance pouvait être produite, la connaissance de cette substance devrait dépendre de la connaissance de sa cause (sachant que la connaissance de l'effet suppose celle de la cause) et ainsi elle ne serait plus une substance, puisqu'une substance est précisément ce qui est en soi et est conçu par soi.

Ce raisonnement n'est légitime que lorsqu'il n'y a que deux propositions contradictoires possibles, dont l'une est nécessairement fausse si l'autre est vraie, et réciproquement ; autrement il dégénère en sophisme s'appuyant sur un faux dilemme. Ou alors, il faut effectivement prouver la fausseté de toutes les autres thèses alternatives : soit A, B ou C considérées comme hypothèses possibles, on prouve que B et C sont fausses, A est donc vraie (il s'agit classiquement de ce qu'on appelle aussi le raisonnement disjonctif ou modus tollendo-ponens).

D'un point de vue épistémologique, cette preuve reste toujours inférieure à la démonstration directe, parce que, si elle contraint l'esprit, elle ne l'éclaire pas et ne donne pas la raison des choses, comme le fait la preuve directe ou ostensive. Il est donc préférable de ne l'employer que quand on ne peut faire autrement : si, par exemple, dans la discussion, on a affaire à un contradicteur qui se refuse à toute preuve directe ou qui nie les principes. C'est le cas pour la réfutation de certaines doctrines, comme le scepticisme.

En philosophie, la méthode apagogique ou réduction à l'absurde a une place plus importante dans le domaine de la réfutation des idées adverses. L'apagogie consiste alors à faire ressortir que la proposition à réfuter conduit à des conséquences absurdes car impossibles (contradictoires avec elles-mêmes ou avec d'autres principes admis comme vrais). Moins risqué que l'apagogie positive, ce mode de raisonnement n'affirme pas forcément que l'inverse est vrai. Ainsi, on réfutera par exemple la proposition tout ce qui est rare est cher en indiquant que si c'était vrai, alors il s'ensuivrait qu'un cheval bon marché, qui est chose rare, devrait en même temps être cher, ce qui est absurde, c'est-à-dire contradictoire dans les termes. La proposition « tout ce qui est rare est cher » est donc nécessairement fausse. Mais on n'affirme pas pour autant que l'opposé logique de cette proposition, à savoir « Il existe quelque chose qui est rare sans être cher », est vraie.

Moins rigoureusement, voire de façon sophistique, on se contentera de faire ressortir des conséquences funestes ou désagréables d'une thèse ou d'une doctrine (voir l'argumentum ad consequentiam).

Néanmoins, il reste aussi préférable d'un point de vue logique de réfuter par l'analyse directe de la fausseté des principes. Aussi un usage non critique de ce type de preuve peut-il être soupçonné d'appartenir plus à la dialectique éristique et à la rhétorique qu'à la philosophie proprement dite.

• Démonstration de la proposition 'zéro n'a pas d'inverse' : on suppose vraie la proposition 'zéro a un inverse'. On en déduit qu'il existe un réel a tel que : a × 0 = 1. Or, a × 0 = a × (0+0) = (a × 0) + (a × 0) ; on aboutit donc à l'égalité 1 = 2, qui est une absurdité. Donc, par l'absurde, on a zéro n'a pas d'inverse.
• Démonstration de l'irrationalité de √2 : on suppose vrai que √2 est rationnel. Il existe donc deux entiers a et b, que l'on peut supposer premiers entre eux, tels que √2 = a/b. On a alors 2b² = a². Si on prend les restes des deux membres dans la division par 2, on obtient a² = 0 mod2, donc a est pair égal à 2a' (a' étant un entier). On a alors b² = 2a'², ce qui, par un raisonnement comparable, conduit à b pair. Or le fait que a et b soient tous deux pairs conduit à une contradiction avec a et b premiers entre eux. L'affirmation √2 est rationnel conduit alors à une contradiction, et donc sa négation est valide, √2 est irrationnel. Dans cette démonstration, on a seulement utilisé le fait que, si une proposition P conduit à une contradiction, alors on a non (P). Il n'y a donc aucun raisonnement par l'absurde, malgré les apparences. Le raisonnement tenu est donc valide aussi bien en logique classique qu'en logique intuitionniste.
• Démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers : on suppose qu'il n'y a qu'un nombre fini n de nombres premiers, et on les note, dans l'ordre, p₁ = 2 < p₂ = 3 < p₃ = 5 < ... < p_n. On considère alors P = p₁p₂p₃ ... p_n + 1. Par construction, P est strictement supérieur à 1 et n'est divisible par aucun nombre premier. Ce résultat est absurde. L'hypothèse est donc fausse ; il y a donc une infinité de nombres premiers (dans la prop.20 du livre IX des Éléments d'Euclide, Euclide ne raisonne pas par l'absurde, mais se borne à montrer que les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers).
• Démontrer le théorème des valeurs intermédiaires : même si un raisonnement par l'absurde ne semble pas apparaître dans la démonstration de ce théorème, il est cependant fait appel au principe du tiers exclu dont la validité repose sur le raisonnement par l'absurde. L'existence de la racine affirmée par le théorème est purement formelle et non effective. Ce théorème n'est pas accepté en analyse constructive sauf à rajouter des hypothèses plus fortes[2].