Règle de L'Hôpital

La règle porte le nom d'un mathématicien français du XVII^e siècle, Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, qui a publié l'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit en français. La règle de L'Hôpital apparaît dans cet ouvrage et constitue la proposition 1 de la section IX, § 163, p. 145[1] : l'objet de cette proposition consiste à donner la valeur d'une quantité ${\displaystyle y}$ dépendant d'une variable ${\displaystyle x}$ pour la valeur ${\displaystyle a}$ de cette variable, lorsque ${\displaystyle y}$ s'écrit comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux en ${\displaystyle a}$.

L'auteur de la règle est sans doute Jean Bernoulli, car L'Hôpital payait à Bernoulli une pension de 300 livres par an pour le tenir informé des progrès du calcul infinitésimal[2]^,[3]^,[4], et pour résoudre les problèmes qu'il lui posait (comme celui de trouver la limite des formes indéterminées) ; de plus, ils avaient signé un contrat autorisant L'Hôpital à utiliser les découvertes de Bernoulli à sa guise[5]. Quand L'Hôpital publia son livre, il reconnut ce qu'il devait à Bernoulli, et, ne voulant pas se voir attribuer son travail, publia anonymement. Bernoulli prétendit alors être l'auteur de l'ouvrage entier, ce qui fut longtemps cru, mais la règle n'en fut pas moins nommée d'après L'Hôpital, bien qu'il n'ait jamais prétendu l'avoir inventée[3].

La règle n'est utilisable qu'en cas d'indétermination. Par exemple[16]

${\displaystyle -4=\lim _{x\to 1}{\frac {3x^{2}+1}{2x-3}}\neq \lim _{x\to 1}{\frac {6x}{2}}=3}$.

Dans le cas d'indétermination de la forme « 0/0 », l'énoncé simple peut souvent être utilisé[6], ou — comme dans la démonstration du théorème d'« intégration » terme à terme d'un développement limité — la première généralisation.

Dans le cas d'indétermination de la forme « ∞/∞ », c'est la seconde généralisation que l'on va employer :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\dfrac {\sqrt {x}}{\ln x}}=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {\frac {1}{2\,{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {\sqrt {x}}{2}}=+\infty }$.

Parfois, il faudra utiliser plusieurs fois la règle de l'Hôpital pour parvenir au résultat :

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\cos \left(2x\right)-1}{x^{3}+5x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin \left(2x\right)}{3x^{2}+10x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-4\cos \left(2x\right)}{6x+10}}={\frac {-2}{5}}}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\exp x}{x^{n}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\exp x}{nx^{n-1}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\exp x}{n(n-1)x^{n-2}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {\exp x}{n!}}=+\infty }$.

Certaines limites, qui n'apparaissent pas comme des limites de quotients, peuvent être obtenues avec cette règle :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-{\sqrt {1-1/x}}}{1/x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1-{\sqrt {1-h}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {1-h}}}}{1}}={\frac {1}{2}}}$.

On remarquera que les formes généralisées ne donnent que des conditions suffisantes d'existence de la limite. Il existe donc des cas où la limite du quotient des dérivées n'existe pas et pourtant la limite du quotient des fonctions existe[17] :

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}\sin \left(1/x\right)}{x}}=\lim _{x\to 0}x\sin \left(1/x\right)=0}$

alors que

${\displaystyle {\frac {2x\sin \left(1/x\right)-\cos \left(1/x\right)}{1}}}$ n'admet pas de limite en 0.

Enfin, on prendra soin de vérifier que ${\displaystyle g'\!\left(x\right)}$ est bien non nul au voisinage de ${\displaystyle a}$, sinon la règle n'est pas applicable. Par exemple[18], si

${\displaystyle f\!\left(x\right)=x+\cos x\sin x}$

${\displaystyle g\!\left(x\right)=\mathrm {e} ^{\sin x}\left(x+\cos x\sin x\right)}$,

alors

${\displaystyle f'\!\left(x\right)=2\cos ^{2}x}$

${\displaystyle g'\!\left(x\right)=\mathrm {e} ^{\sin x}\cos x\,\left(x+\sin x\cos x+2\cos x\right)}$

donc

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f'\!\left(x\right)}{g'\!\left(x\right)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2\cos x}{\mathrm {e} ^{\sin x}\left(x+\sin x\cos x+2\cos x\right)}}=0}$

mais

${\displaystyle {\frac {f\!\left(x\right)}{g\!\left(x\right)}}={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\sin x}}}}$ n'admet pas de limite en ${\displaystyle +\infty }$ car ${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {e} ^{\sin x}}}}$ oscille entre ${\displaystyle 1/{\rm {e}}}$ et ${\displaystyle {\rm {e}}}$.