Problème à N corps

Le problème à N corps est modélisé par une équation différentielle. Étant donné les valeurs initiales des positions q_j(0) et des vitesses ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}(0)}$ des N particules (j = 1, 2, …, N) avec q_j(0) ≠ q_k(0) pour tout j et k distincts, il s'agit de trouver une solution du système du second ordre

${\displaystyle \forall j\in \{1,\ldots ,{\rm {{N}\},m_{j}{\ddot {\vec {q_{j}}}}=-G\sum _{k\in \{1,\ldots ,{\rm {{N}\}\backslash \{j\}}}}{\frac {m_{j}m_{k}\left({\vec {q_{j}}}-{\vec {q_{k}}}\right)}{\|{\vec {q_{j}}}-{\vec {q_{k}}}\|^{3}}}}}}$

où G est la constante gravitationnelle, m₁, m₂, …, m_N sont des constantes[note 1] représentant les masses des N particules, et q₁, q₂, …, q_N sont leurs vecteurs position (à trois dimensions) dépendant du temps t.

Cette équation est simplement la seconde loi du mouvement de Newton ; le terme de gauche est le produit de la masse de la particule et de son accélération, tandis que le terme de droite est la somme des forces gravitationnelles qui s'exercent sur la particule. Ces forces sont proportionnelles aux masses concernées et varient proportionnellement à l'inverse du carré de la distance de ces masses. Puisqu'il faut tenir compte de la direction de ces forces (pour les mesurer par un produit scalaire avec un des vecteurs unitaires du repère spatial dans lequel on mesure aussi les accélérations subies par chaque particule), il faut insérer un q_j − q_k au numérateur et le compenser par un cube au dénominateur (et non plus un simple carré).

La formule est valide si on suppose que l'espace est cartésien et orthogonal au temps (de même que sa norme pour mesurer les distances), ce qui n'est vrai qu'en mécanique classique (pour des vitesses pas trop importantes par rapport à la limite maximale de la vitesse de la lumière dans un vide absolu, et pour des masses pas trop importantes non plus). Mais elle n'est qu'une approximation locale en mécanique relativiste, où l'espace a une courbure négative avec le temps (qui est implicite dans la formule pour exprimer l'accélération comme une dérivée seconde selon le temps) et où la norme ne suit pas la logique cartésienne (en effet la mesure des distances ainsi que la notion de repère cartésien et de base vectorielle universelle pour mesurer l'espace dépendent du temps propre et de l'accélération relative de l'observateur situé au centre de son repère de référence), et ne s'applique pas non plus de façon universelle en mécanique quantique où l'espace est également courbé par la présence des masses (qui impliquent également l'existence d'autres forces interagissant entre particules massives).

La formule suppose aussi que seule la gravitation est prise en compte (on suppose par exemple que les particules sont non chargées pour ne pas subir d'interaction électromagnétique et sont suffisamment éloignées pour que ni l'interaction forte ni l'interaction faible ne puissent avoir d'effet significatif), que l'espace entre les particules n'est constitué que du vide absolu n'interagissant donc pas directement lui-même sur les particules (il n'y a pas de masse noire ni d'énergie noire), que la totalité de la masse de chaque particule peut être concentrée en un seul point de l'espace, que l'espace et le temps sont continus (non quantifiés) et isotropes dans toutes les directions, et que la masse individuelle des particules se conserve avec leurs vitesses et accélérations relatives, de même que la quantité de mouvement totale des particules relative à l'observateur.

Dans la mécanique de Newton, le problème à deux corps est entièrement résoluble analytiquement. Toutefois, dans les cadres de la relativité générale et dans celui de la relativité restreinte, le problème à deux corps n'admet pas de solution analytique exacte.

En dehors de quelques cas rarissimes où une solution exacte est connue, il faut en général recourir à des méthodes de résolutions approchées. Deux approches sont utilisées :

• la théorie des perturbations, qui permet de faire des calculs analytiques approchés sous la forme de développements en série ;
• l'analyse numérique ; en programmation, le problème de la simulation de N corps devrait être théoriquement d'ordre N², car toutes les interactions de corps deux à deux devraient être considérées a priori ; des considérations de découpage spatial récursif (voir : Simulation de Barnes-Hut) permettent cependant d'arriver à de très correctes approximations en un temps de l'ordre de N⋅ln(N) seulement. Voir aussi raffinement de maillage adaptatif.

Depuis les travaux de Henri Poincaré (en particulier le théorème qu'il a publié en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[1]), on sait par ailleurs que dès le problème à 3 corps, apparaissent des solutions sensibles aux conditions initiales, et pour lesquelles une solution analytique efficiente, même approchée, est illusoire ; les méthodes statistiques de la théorie ergodique sont utilisées dans ce cas.

Le problème a trois corps est évoqué dans la trilogie de science-fiction Le Problème à trois corps.