Points de Brocard

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point P tel que les angles ${\displaystyle {\widehat {PAB}},}$ ${\displaystyle {\widehat {PBC}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {PCA}}}$ orientés positivement soient égaux.

Le premier point de Brocard, vu comme intersection de trois cercles.

Le second point de Brocard du triangle est le point P' tel que les angles ${\displaystyle {\widehat {P'BA}},}$ ${\displaystyle {\widehat {P'CB}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {P'AC}}}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles ${\displaystyle {\widehat {PAB}},}$ ${\displaystyle {\widehat {PBC}},}$ ${\displaystyle {\widehat {PCA}},}$ ${\displaystyle {\widehat {P'BA}},}$ ${\displaystyle {\widehat {P'CB}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {P'AC}}}$ sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ${\displaystyle \omega }$ et qui peut être calculé à partir de la formule :

${\displaystyle \tan \omega ={\frac {4S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

où S désigne l'aire du triangle, alors que a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.