Partition de l'unité

• On munit ${\displaystyle I}$ d'un bon ordre.
• On définit, par récurrence transfinie, une famille ${\displaystyle (g_{i})_{i\in I}}$ d'applications continues de ${\displaystyle X}$ dans [0, 1] telles que si l'on définit les ${\displaystyle B_{\lambda }}$ par ${\displaystyle B_{\lambda }=\left\{x\in X\mid g_{\lambda }(x)>0\right\},}$ les propriétés suivantes soient satisfaites pour tout ${\displaystyle i\in I}$ :

1. ${\displaystyle \operatorname {Supp} (g_{i})\subset U_{i}}$ ;
2. la famille formée des ${\displaystyle (B_{\lambda })_{\lambda \leqslant i}}$ et des ${\displaystyle (U_{\lambda })_{\lambda >i}}$ est un recouvrement ouvert de ${\displaystyle X.}$

Supposons donc que les ${\displaystyle g_{i}}$ sont définis pour tout ${\displaystyle i<\gamma }$ et satisfont les propriétés 1 et 2 pour tout ${\displaystyle i<\gamma }$ et montrons que l'on peut construire ${\displaystyle g_{\gamma }}$ telle qu'elles soient aussi vérifiées pour ${\displaystyle i=\gamma .}$

On commence par montrer la proposition suivante : les ${\displaystyle B_{i}}$ tels que ${\displaystyle i<\gamma }$ et les ${\displaystyle U_{i}}$ tels que ${\displaystyle i\geqslant \gamma }$ forment un recouvrement de ${\displaystyle X.}$

Par hypothèse, pour tout ${\displaystyle x\in X}$, il n'y a qu'un nombre fini d'indices ${\displaystyle \lambda \in I}$ tels que ${\displaystyle x\in U_{\lambda }}$, soient ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}}$. Soit ${\displaystyle \lambda _{h}}$ le plus grand des ${\displaystyle \lambda _{i}}$ tels que ${\displaystyle \lambda _{i}<\gamma .}$

• Si ${\displaystyle h<n}$, on a ${\displaystyle x\in U_{\lambda _{n}}}$ et ${\displaystyle \lambda _{n}\geqslant \gamma .}$
• Si ${\displaystyle h=n}$, l'hypothèse de récurrence nous donne que ${\displaystyle x}$ appartient à un ${\displaystyle B_{\lambda }}$ tel que ${\displaystyle \lambda \leqslant \lambda _{n}<\gamma }$, ce qui satisfait encore notre proposition.

On pose alors ${\displaystyle C=\left(\bigcup _{i<\gamma }B_{i}\right)\cup \left(\bigcup _{i>\gamma }U_{i}\right)}$ ; ${\displaystyle C}$ est ouvert et d'après ce qui précède, on a ${\displaystyle \complement U_{\gamma }\subset C}$.

D'après le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn, il existe une application continue ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle X}$ dans [0, 1], telle que ${\displaystyle g_{\gamma }(x)=0}$ dans ${\displaystyle \complement U_{\gamma }}$ et ${\displaystyle g_{\gamma }(x)=1}$ dans ${\displaystyle \complement C.}$ Nous avons ${\displaystyle \operatorname {Supp} (g_{\gamma })\subset U_{\gamma }.}$

Par définition de ${\displaystyle B_{\gamma },}$ on a ${\displaystyle \complement C\subset B_{\gamma }}$, ou en d'autres termes ${\displaystyle C\cup B_{\gamma }=X.}$ Les ${\displaystyle B_{i}}$ tels que ${\displaystyle i\leqslant \gamma }$ et les ${\displaystyle U_{i}}$ tels que ${\displaystyle i>\gamma }$ forment bien un recouvrement de ${\displaystyle X}$, ce qui termine la preuve par récurrence.

• Il est donc clair que la famille des ${\displaystyle (B_{i})_{i\in I}}$ ainsi définie est un recouvrement de ${\displaystyle X}$ puisque pour tout ${\displaystyle x\in X}$, il existe un ${\displaystyle \gamma }$ tel que pour tout ${\displaystyle i>\gamma ,}$ ${\displaystyle x\notin U_{i}}$. Ce recouvrement étant localement fini, on peut former la fonction ${\displaystyle g=\sum _{i\in I}g_{i}}$ et par définition des ${\displaystyle B_{i}}$, on a ${\displaystyle g(x)>0}$ pour tout ${\displaystyle x\in X}$. Si l'on pose ${\displaystyle \phi _{i}(x)={\frac {g_{i}(x)}{g(x)}}}$ pour tout ${\displaystyle x\in X}$ et ${\displaystyle i\in I}$, les ${\displaystyle \phi _{i}}$ forment une partition continue de l'unité subordonnée au recouvrement des ${\displaystyle \left(U_{i}\right).}$

Première étape : on commence par une démonstration dans le cas où les ouverts ${\displaystyle \Omega _{i}}$ sont relativement compacts dans ${\displaystyle \Omega }$, c'est-à-dire que leur adhérence est compacte, et le recouvrement ${\displaystyle (\Omega _{i})}$ est localement fini, c'est-à-dire que tout compact est rencontré seulement par un nombre fini de ces ensembles.

Étant donné que ${\displaystyle \Omega }$ est un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, c'est un espace paracompact et donc on peut trouver un nouveau recouvrement localement fini ${\displaystyle (\Omega _{i}')_{i\in I}}$, dépendant du même ensemble d'indices ${\displaystyle I}$ et subordonné au premier recouvrement, c'est-à-dire tel que ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}'}}\subset \Omega }$. On considère encore un recouvrement ${\displaystyle (\Omega _{i}'')_{i\in I}}$ subordonné au recouvrement ${\displaystyle (\Omega _{i}')_{i\in I}}$. Soit alors ${\displaystyle \beta _{i}}$ une fonction continue sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, définie par la méthode de prolongement d'Urysohn, comprise entre 0 et 1, égale à +1 sur ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}''}}}$ et à 0 sur ${\displaystyle \complement {\Omega _{i}'}}$. Comme ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}'}}\subset \Omega }$ est compact, pour ${\displaystyle \epsilon _{i}>0}$ assez petit, le ${\displaystyle \epsilon _{i}}$-voisinage de ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}'}}}$ est contenu dans ${\displaystyle \Omega _{i}.}$ On introduit alors la fonction régularisante ${\displaystyle \rho _{\epsilon _{i}}}$ définie par :

${\displaystyle \rho _{\epsilon }(x)={\begin{cases}0&{\text{ pour }}r\geqslant \epsilon \\\\{\frac {k}{\epsilon ^{n}}}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{\epsilon ^{2}-r^{2}}}\right)&{\text{ pour }}r<\epsilon .\end{cases}}}$

Elle est positive, son support est inclus dans la boule centrée sur l'origine et de rayon ${\displaystyle \epsilon }$ et la constante k est choisie de telle sorte que ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho _{\epsilon }(x)~\mathrm {d} x=1.}$ Alors la régularisée ${\displaystyle \gamma _{i}=\beta _{i}*\rho _{\epsilon _{i}}}$ est strictement positive dans ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}'}}}$ et son support dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est contenu dans ${\displaystyle \Omega _{i}.}$ La somme ${\displaystyle \sum _{\nu }\gamma _{\nu }(x)}$ est définie en tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \Omega }$, et même un nombre fini seulement de termes de cette somme ne sont pas identiquement nuls sur un voisinage compact de ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle \Omega .}$ Elle est indéfiniment dérivable et partout > 0 dans ${\displaystyle \Omega }$ puisque les ${\displaystyle \Omega _{i}''}$ forment un recouvrement de ${\displaystyle \Omega .}$ Alors ${\displaystyle \alpha _{i}(x)={\frac {\gamma _{i}(x)}{\sum _{\nu }\gamma _{\nu }(x)}}}$ satisfait à toutes les propriétés voulues.

Deuxième étape : cas général. On suppose le recouvrement ${\displaystyle (\Omega _{i})}$ arbitraire. Comme ${\displaystyle \Omega }$ est paracompact, on peut trouver un raffinement ${\displaystyle (\Omega _{j}')}$ localement fini de ${\displaystyle (\Omega _{i})}$, dépendant d'un autre ensemble d'indices ${\displaystyle J}$, et une application ${\displaystyle j\mapsto i(j)}$ de ${\displaystyle J}$ dans ${\displaystyle I}$, tels que tout ${\displaystyle \Omega '_{j}}$ soit relativement compact dans ${\displaystyle \Omega }$ et que, pour tout ${\displaystyle j\in J,~\Omega '_{j}\subset \Omega _{i(j)}.}$ D'après la première partie de la démonstration, il existe une partition de l'unité ${\displaystyle (\alpha _{j})}$ correspondant au recouvrement ${\displaystyle (\Omega '_{j}).}$ On pose alors, pour tout ${\displaystyle i\in I,~\phi _{i}=\sum _{i(j)=i}\alpha _{j}.}$ Tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \Omega }$ a un voisinage sur lequel un nombre fini seulement des ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ne sont pas identiquement nulles. Donc ${\displaystyle \phi _{i}}$ est encore indéfiniment dérivable dans ${\displaystyle \Omega }$ et son support dans ${\displaystyle \Omega }$ est exactement la réunion des supports des ${\displaystyle \alpha _{j}}$ pour lesquels ${\displaystyle i(j)=i.}$ Alors les ${\displaystyle \phi _{i}}$ ont toutes propriétés voulues.