Nombre premier unique

Un nombre premier différent de 2 et 5 est dit unique si la période du développement décimal de son inverse n'est égale à la période du développement décimal d'aucun autre inverse de nombre premier.

Les nombres premiers uniques ont été décrits pour la première fois par Samuel Yates en 1980.

Un nombre premier p est unique et de période n si et seulement si il existe un entier naturel c tel que :

{\frac {\Phi _{n}(10)}{\mathrm {pgcd} (\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}

où $\Phi _{n}$ est le n-ième polynôme cyclotomique.

La table ci-dessous rassemble les plus petits nombres premiers uniques p connus (suite A040017 de l'OEIS) et indique la longueur de la période de 1/p (suite A051627) :

Longueur de la période	Nombre premier
1	3
2	11
3	37
4	101
10	9 091
12	9 901
9	333 667
14	909 091
24	99 990 001
36	999 999 000 001
48	9 999 999 900 000 001
38	909 090 909 090 909 091
19	1 111 111 111 111 111 111
23	11 111 111 111 111 111 111 111
39	900 900 900 900 990 990 990 991
62	909 090 909 090 909 090 909 090 909 091
120	100 009 999 999 899 989 999 000 000 010 001
150	10 000 099 999 999 989 999 899 999 000 000 000 100 001

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Unique prime » (voir la liste des auteurs).
(en) Chris Caldwell, « Unique prime », sur Prime Pages — The Prime Glossary

Arithmétique et théorie des nombres

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