Nombre premier de Wolstenholme

En mathématiques, un nombre premier p est appelé nombre premier de Wolstenholme si la condition suivante est vérifiée :

{{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\bmod {p^{4}}}

.

Les nombres premiers de Wolstenholme sont nommés en l'honneur du mathématicien Joseph Wolstenholme, qui a démontré en 1862 que tout nombre premier p ≥ 5 vérifie la condition analogue modulo p³ (théorème de Wolstenholme), suite à Charles Babbage qui avait prouvé la condition modulo p² en 1819.

On conjecture qu'il en existe une infinité[1], bien que[2]^,[3]^,[4] les seuls connus soient 16 843 et 2 124 679. et qu'il n'en existe pas d'autres plus petits que 10⁹.

Définitions équivalentes

Pour tout nombre premier p, les propriétés suivantes sont équivalentes[5]^,[6] :

p est un nombre premier de Wolstenholme ;
${\binom {2p}{p}}\equiv 2{\bmod {p^{4}}}$ ;
p divise le numérateur du nombre de Bernoulli B_p–3 ;
p > 7 et p divise le numérateur de $\sum _{p/6<k<p/4}{\tfrac {1}{k^{3}}}$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wolstenholme prime » (voir la liste des auteurs).

(en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme's Theorem », Acta Arith., vol. 71, n^o 4,‎ 1995, p. 381-389 (lire en ligne).
(en) Suite A088164 de l'OEIS.
(en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Math. Comp., vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2087-2094 (lire en ligne).
(en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search (courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann).
(en) Wolstenholme prime sur le Prime Pages Glossary.
(en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first $p - 1$ numbers, and their powers, to modulus $p 2$ or $p 3$ », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ 1900, p. 321-353 (lire en ligne) .

Article connexe

Liste de suites de nombres premiers

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme's Theorem », Acta Arith., vol. 71, n^o 4,‎ 1995, p. 381-389 (lire en ligne).

[2] (en) Suite A088164 de l'OEIS.

[3] (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Math. Comp., vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2087-2094 (lire en ligne).

[4] (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search (courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann).

[5] (en) Wolstenholme prime sur le Prime Pages Glossary.

[6] (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first $p - 1$ numbers, and their powers, to modulus $p 2$ or $p 3$ », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ 1900, p. 321-353 (lire en ligne) .