Nombre premier de Wieferich

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1093 et 3511 (suite A001220 de l'OEIS), découverts par Waldemar Meissner en 1913[2] et N. G. W. H. Beeger (en) en 1922[3], respectivement ; si d'autres existent, ils doivent être supérieurs à 1,47 × 10¹⁷ (meilleur résultat connu en 2014)[4]^,[5]. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini. Joseph H. Silverman a seulement pu démontrer, en 1988[6], que si la conjecture abc est vraie, alors pour tout entier a > 1, il existe une infinité de nombres premiers p tel que p² ne divise pas a^p–1 – 1 (et donc qu'il existe une infinité de nombres premiers qui ne sont pas de Wieferich).

On sait qu'un facteur premier p d'un nombre de Mersenne M_q = 2^q – 1 ne peut être premier de Wieferich que si p² divise M_q ; on en déduit immédiatement qu'aucun nombre de Mersenne premier n'est premier de Wieferich. Aussi, si p est un nombre premier de Wieferich, alors ${\displaystyle 2^{p^{2}}\equiv 2\,\mod p^{2}\,}$.

Le théorème suivant connectant les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat fut prouvé par Wieferich en 1909 :

Soit p un nombre premier, et soient x, y, z des entiers tels que x^p + y^p + z^p = 0 et que p ne divise pas le produit xyz. Alors p est un nombre premier de Wieferich.

En 1910, Mirimanoff put étendre le théorème en montrant que, si les hypothèses du théorème sont vraies pour un certain nombre premier p, alors p² doit aussi diviser 3^p–1-1.