Nombre d'Euler

Les nombres d'Euler E_n forment une suite d'entiers naturels[1] définis par le développement en série de Taylor suivant :

{\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.

Premiers nombres d'Euler

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous nuls. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont strictement positifs. Les premières valeurs sont :

E_{0}=

1

E_{2}=

1

E_{4}=

5

E_{6}=

61

E_{8}=

1 385

E_{10}=

50 521

E_{12}=

2 702 765

E_{14}=

199 360 981

E_{16}=

19 391 512 145

E_{18}=

2 404 879 675 441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

{\frac {1}{\cos x}}=1+E_{2}{\frac {x^{2}}{2!}}+E_{4}{\frac {x^{4}}{4!}}+E_{6}{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots

et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

{\frac {1}{\cosh x}}=1-E_{2}{\frac {x^{2}}{2!}}+E_{4}{\frac {x^{4}}{4!}}-E_{6}{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots

.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire. Une configuration zig-zag de taille n est une liste de n nombres réels $z 1, ... , z n$ tels que

z_{1}>z_{2}<z_{3}>z_{4}\dots

.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.

Formules explicites

Sommations

Une formule explicite pour les nombres d'Euler est ^{[réf. souhaitée]} :

E_{2n}=(-1)^{n}\mathrm {i} \sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}\mathrm {i} ^{k}k}}

où $i$ est un nombre complexe tel que $i 2 = -1$ .

Sommes sur les partitions

Le nombre E_2n s'exprime comme une somme sur les partitions paires de 2n[2] :

E_{2n}=(-1)^{n}(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}~\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left({\frac {-1~}{2!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {-1~}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {-1~}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},

et aussi comme une somme sur les partitions impaires de 2n − 1[3] :

E_{2n}=-(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left({\frac {-1~}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},

où, dans les deux cas, $K=k_{1}+\cdots +k_{n}$ et

\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}

est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux k_i tels que $2k_{1}+4k_{2}+\cdots +2nk_{n}=2n$ et $k_{1}+3k_{2}+\cdots +(2n-1)k_{n}=2n-1$ , respectivement.

Par exemple,

{\begin{aligned}E_{10}&=-10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!8!}}+{\frac {2}{4!6!}}-{\frac {3}{2!^{2}6!}}-{\frac {3}{2!4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=-9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}7!}}+{\frac {6}{1!3!5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}5!}}-{\frac {10}{1!^{3}3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=50\,521.\end{aligned}}

Avec un déterminant

E_2n est aussi donné par le déterminant^{[réf. souhaitée]} :

{\begin{aligned}E_{2n}&=(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler number » (voir la liste des auteurs).

Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Paris, Puf, 1993, 955 p. (ISBN 2-13-045491-7), p. 318. Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh(x), pour lequel les coefficients ont des signes alternés.
(en) David C. Vella, « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers, vol. 8, n^o 1,‎ 2008, A1 (lire en ligne).
(en) (en) Jerome Malenfant « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », version v6, 2011.

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[1] Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Paris, Puf, 1993, 955 p. (ISBN 2-13-045491-7), p. 318. Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh(x), pour lequel les coefficients ont des signes alternés.

[2] (en) David C. Vella, « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers, vol. 8, n^o 1,‎ 2008, A1 (lire en ligne).

[3] (en) (en) Jerome Malenfant « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », version v6, 2011.