Nombre d'Euclide

En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme $E_{n}=p_{n}\#+1$ , où $p_{n}\#=2\times 3\times ...\times p_{n}$ est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des $n$ premiers nombres premiers[1]. Ils sont ainsi nommé en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.

Propriété fondamentale

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, $E_{n}$ est divisible par un nombre premier $p$ qui est forcément strictement supérieur à $p_{n}$ , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers $(p_{n})$ n'est pas finie.

Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des $n$ premiers nombres premiers[2].

Décomposition des nombres d'Euclide

Les six premiers nombres d'Euclide[3] : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers[4], ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés[5].

Notes et références

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Le produit vide p₀# est égal à 1.
(en) Michael Hardy et Catherine Woodgold, « Prime Simplicity », The Mathematical Intelligencer, vol. 31, n^o 4,‎ 2009, p. 44-52 (DOI 10.1007/s00283-009-9064-8).
Pour les 100 premiers, voir la suite A006862 de l'OEIS.
Voir les suites A018239, A005234 et A014545 de l'OEIS.
(en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, p. 4.

Articles connexes

Nombre premier primoriel

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Le produit vide p₀# est égal à 1.

[2] (en) Michael Hardy et Catherine Woodgold, « Prime Simplicity », The Mathematical Intelligencer, vol. 31, n^o 4,‎ 2009, p. 44-52 (DOI 10.1007/s00283-009-9064-8).

[3] Pour les 100 premiers, voir la suite A006862 de l'OEIS.

[4] Voir les suites A018239, A005234 et A014545 de l'OEIS.

[5] (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, p. 4.