Matrice de Vandermonde

En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

V={\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&{\alpha _{1}}^{2}&\dots &{\alpha _{1}}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&{\alpha _{2}}^{2}&\dots &{\alpha _{2}}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&{\alpha _{3}}^{2}&\dots &{\alpha _{3}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{m}&{\alpha _{m}}^{2}&\dots &{\alpha _{m}}^{n-1}\\\end{pmatrix}}

Autrement dit, pour tous i et j, $V_{i,j}={\alpha _{i}}^{j-1}.$

Remarque.: Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée ( $m=n$ ). Elle est inversible si et seulement si les $\alpha _{i}$ sont deux à deux distincts.

Démonstration

Si deux coefficients $\alpha _{i}$ sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX = 0 pour X de composantes x₀, …, x_n-1 :

{\begin{cases}x_{0}+\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{1}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{1}^{n-1}x_{n-1}=0\\&\vdots \\x_{0}+\alpha _{n}x_{1}+\alpha _{n}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{n}^{n-1}x_{n-1}=0\end{cases}}

En introduisant le polynôme

P(Y)=\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}Y^{i}

,

on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré ; donc P est nul, et ainsi X = 0, ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant

Le déterminant d'une matrice $n\times n$ de Vandermonde ( $m=n$ dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[1] :

\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})

Démonstration[2]

Le déterminant $D(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ de la matrice est un polynôme en $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ . De plus, ce déterminant s'annule lorsque deux des nombres $\alpha _{i},\alpha _{j}$ sont égaux (puisqu'il y a alors deux lignes identiques). Par suite, ce déterminant est égal à

P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\cdot Q(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})

où

P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})

et où $Q$ est lui-même un polynôme.

Cependant, le polynôme $D$ est homogène, de degré 0+1+…+(n-1) = n(n-1)/2. Puisqu'il en est de même de $P$ , le polynôme $Q$ est en fait une constante. Enfin, cette constante vaut 1 puisque dans les développements de $D$ et de $P$ , le coefficient du monôme $\alpha _{n}^{n-1}\alpha _{n-1}^{n-2}\ldots \alpha _{2}^{1}$ a la même valeur non nulle (égale à 1).

Applications

La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale.

Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients $(α i)$ sont les racines complexes de l'unité.

Notes

Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.
Pour une preuve moins conceptuelle, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

Article connexe

Interpolation lagrangienne

Bibliographie

Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971 ; pages 316 à 319.
Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, 3^e édition, Bréal, 1994 ; pages 19 et 20.

Lien externe

Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes

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[1] Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.

[2] Pour une preuve moins conceptuelle, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.