Interpolation polynomiale

• Dans la version la plus simple (interpolation lagrangienne), on impose simplement que le polynôme passe par tous les points donnés. Étant donné un ensemble de n + 1 points (i.e. couples de nombres réels) (x_i , y_i) (x_i distincts 2 à 2), on cherche à trouver un polynôme p (à coefficients réels) de degré n au plus qui vérifie :

${\displaystyle p(x_{i})=y_{i}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n}$

Le théorème de l'unisolvance précise qu'il n'existe qu'un seul polynôme p de degré inférieur ou égal à n défini par un ensemble de n + 1 points.

• L'interpolation d'Hermite consiste à chercher un polynôme qui non seulement prend les valeurs fixées aux abscisses données, mais dont également la dérivée, donc la pente de la courbe, prend une valeur imposée en chacun de ces points. Naturellement, il faut pour cela un polynôme de degré supérieur au polynôme de Lagrange. On peut aussi imposer encore la valeur des dérivées secondes, troisièmes, etc. en chaque point. La démarche de l'interpolation newtonienne utilisant les différences divisées est particulièrement adaptée pour construire ces polynômes.

Les points rouges correspondent aux points (x_k , y_k), et la courbe bleue représente le polynôme d'interpolation.

Supposons que le polynôme d'interpolation est donné par :

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.\qquad (1)}$

Or p doit vérifier :

${\displaystyle p(x_{i})=y_{i},\qquad \forall i\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}.}$

afin que ce dernier passe par l'ensemble des points à interpoler. En intégrant à l'équation (1), on obtient un système d'équations linéaires d'inconnues a_k. L'écriture matricielle est la suivante :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}$

Pour construire p(x), il suffit de résoudre ce système afin d'obtenir les valeurs des a_k. Toutefois, inverser une matrice pleine est un calcul lourd (avec une méthode d'élimination de Gauss-Jordan, le calcul est de l'ordre de 2/3n³ opérations). Des méthodes nettement plus efficaces utilisent une base de polynômes lagrangienne ou newtonienne pour obtenir une matrice respectivement diagonale ou triangulaire[1]^,[2]^,[3]. Dans la pratique, le calcul des différences divisées remplace la résolution du système linéaire.

La matrice est une matrice du type matrice de Vandermonde. Son déterminant est non nul, ce qui prouve le théorème d'unisolvance : le polynôme d'interpolation existe et est unique. (L'unicité résulte aussi du fait que si deux polynômes de degré inférieurs ou égaux à n coïncident en n + 1 points, alors ils sont égaux.)

L'erreur d'interpolation lors de l'approximation d'une fonction f, c'est-à-dire : lorsque y_i = f(x_i) dans ce qui précède, est donnée par une formule de type Taylor-Young :

Si f est n + 1 fois différentiable sur I = [min(x₀,...,x_n,x),max(x₀,...,x_n,x)] alors

${\displaystyle \exists \xi \in I\quad f(x)-p_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i}).}$

L'existence d'un tel ξ se démontre en appliquant de manière itérée le théorème de Rolle[4] :

Dans le cas particulier où x_i = x₀ + ih (points uniformément répartis), se produit en général une aggravation catastrophique de l'erreur d'interpolation, connue sous le nom de phénomène de Runge, lorsqu'on augmente le nombre de points pour un intervalle [x₀ , x_n] donné.

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