Métrique de Lemaître

La métrique de Lemaître est donnée par[1] :

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}.dT^{2}-{\frac {dR^{2}}{\left({\frac {3}{2R_{S}}}(R-cT)\right)^{2/3}}}-\left(\textstyle {\frac {3}{2}}.(R-cT)\right)^{4/3}.R_{S}^{2/3}.(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta .d\phi ^{2})}$

où

• ${\displaystyle T}$ est la variable temps, qui est le temps propre de toute particule au repos dans ce référentiel en chute libre.
• ${\displaystyle R}$ est la variable spatiale. R = constante pour une particule immobile dans ce référentiel, donc en chute libre avec lui.
• ${\displaystyle R_{S}}$ est le rayon de Schwarzschild.

Pour ${\displaystyle R-cT>0}$, les signes des coefficients de ${\displaystyle dT^{2}}$ et ${\displaystyle dR^{2}}$ montrent qu'il s'agit bien là de coordonnées respectivement partout temporelle et partout spatiale.

Ou, sous une forme simplifiée[3] :

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}.dT^{2}-{\frac {dR^{2}}{B}}-B^{2}{R_{S}}^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta .d\phi ^{2})}$ avec ${\displaystyle B=\left({\frac {3}{2R_{S}}}(R-cT)\right)^{2/3}}$

L'idée est, à partir de la métrique de Schwarzschild, de déterminer des variables T et R vérifiant ${\displaystyle ~c.dT=c.dt+{\frac {f(r).dr}{1-\textstyle {\frac {R_{S}}{r}}}}~}$ et ${\displaystyle ~dR=c.dt+{\frac {dr}{f(r).(1-\textstyle {\frac {R_{S}}{r}})}}~}$, et permettant d'éliminer la singularité du rayon de Schwarzschild.

En remplaçant dans la métrique de Schwarzschild, on obtient ${\displaystyle ds^{2}={\frac {1-\textstyle {\frac {R_{S}}{r}}}{1-f^{2}(r)}}.\left(c^{2}.dT^{2}-f^{2}(r).dR^{2}\right)-r^{2}.(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta .d\phi ^{2})}$

La singularité est éliminée pour ${\displaystyle f(r)={\sqrt {\frac {R_{S}}{r}}}}$.

Par intégration, on obtient ${\displaystyle R-c.T={\textstyle {\frac {2}{3}}}.{\frac {r^{3/2}}{R_{S}^{1/2}}}}$, d'où ${\displaystyle r=\left({\textstyle {\frac {3}{2}}}.(R-c.T)\right)^{2/3}.R_{s}^{1/3}=B.R_{S}}$, et la métrique de Lemaître en remplaçant dans le ${\displaystyle ds^{2}}$ donné plus haut.

On obtient également[3]: ${\displaystyle t={\frac {R_{S}}{c}}\left(-{\frac {2}{3}}B^{1/2}+\ln \left|{\frac {B^{1/2}+1}{B^{1/2}-1}}\right|+{\frac {R}{R_{S}}}\right)}$, toujours avec ${\displaystyle B=\left({\frac {3}{2R_{S}}}(R-cT)\right)^{2/3}}$

Les droites inclinées vérifient R-c.T = constante (ce qui implique que r = constante). La 1^re en trait plein correspond à r = 0, la 2de en trait plein correspond à r = R_s. Un corps en chute libre suit la droite verticale (avec le temps T croissant, donc vers le haut du graphique) et la base de son cône de lumière est en rouge.

Dans un graphique où le temps T est sur l'axe vertical, et la coordonnée spatiale R est sur l'axe horizontal, une droite d'équation ${\displaystyle R-c.T=constante}$ correspond à la contrainte ${\displaystyle r=constant}$ sur la coordonnée ${\displaystyle r}$ de la métrique de Schwarzschild.

${\displaystyle R-c.T=0}$ est la singularité ${\displaystyle r=0}$, présente dans toute métrique avec les conditions physiques imposées (car c'est une singularité de tenseur de courbure de l'espace-temps).

La contrainte ${\displaystyle r=R_{S}}$ correspond à ${\displaystyle R-c.T={\textstyle {\frac {2}{3}}}.R_{S}}$.

La métrique étant synchrone, une ligne de temps est une géodésique : pour une chute libre radiale (donc une évolution suivant la seule coordonnée ${\displaystyle r}$ de la métrique de Schwarzschild) les géodésiques sont les droites verticales, et sont parcourues dans le sens du temps ${\displaystyle T}$ croissant.

On montre, en prenant ${\displaystyle ds^{2}=0}$, que pour la lumière ${\displaystyle \textstyle {{\frac {dR}{c.dT}}=\pm {\sqrt {\frac {r}{R_{S}}}}}}$, ce qui donne les pentes du bords du cône de lumière du corps. Donc :

• si ${\displaystyle r>R_{S}}$, le cône de lumière du corps inclut la droite ${\displaystyle R-c.T=constante}$ sur laquelle est le corps car pour cette droite ${\displaystyle \textstyle {{\frac {dR}{c.dT}}=1\in \left]-{\sqrt {\frac {r}{R_{S}}}};+{\sqrt {\frac {r}{R_{S}}}}\right[}}$ : une orbite autour du trou noir est donc envisageable, voire un retour vers des valeurs croissantes de ${\displaystyle r}$.
• si ${\displaystyle r\leq R_{S}}$, le cône de lumière du corps n'inclut pas (strictement) la droite ${\displaystyle R-c.T=constante}$ sur laquelle est le corps, une orbite à l'intérieur du trou noir est donc inenvisageable, le corps est appelé à progresser vers les valeurs décroissantes de ${\displaystyle r}$ : la chute vers la singularité ${\displaystyle r=0}$ est inexorable et se fait en un temps propre ${\displaystyle T}$ fini.

On remarque que ${\displaystyle r=R_{S}}$ n'est pas une singularité de cette métrique, mais correspond à une impossibilité de retour en arrière, ou même de position stationnaire pour un corps massif.

Pour obtenir un mouvement centrifuge radial, il suffit de changer le signe du temps propre, on a alors ${\displaystyle ~c.dT=-\left(c.dt+{\frac {f(r).dr}{1-\textstyle {\frac {R_{S}}{r}}}}\right)~}$ , ${\displaystyle ~dR=c.dt+{\frac {dr}{f(r).(1-\textstyle {\frac {R_{S}}{r}})}}~}$, et le même graphique que dans le cas du mouvement centripète, mais avec l'axe du temps orienté dans l'autre sens, et des trajectoires des corps dirigées vers le bas du graphique (c'est-à-dire toujours vers T croissant) ce qui montre une sortie, puis une fuite loin du trou noir.

Mais le sens physique à donner alors à ce mouvement n'est pas évident car sur les droites verticales du graphique, on a ${\displaystyle ~dR=c.dt+{\frac {dr}{f(r).(1-\textstyle {\frac {R_{S}}{r}})}}=0~}$, d'où ${\displaystyle \textstyle {\frac {dr}{dt}}<0}$ pour ${\displaystyle r>R_{S}}$, la progression du corps devrait donc être toujours orientée vers le trou noir. Le même calcul pour ${\displaystyle 0<r\leqslant R_{S}}$ n'est pas pertinent car cette contrainte fait perdre à ${\displaystyle t}$ son sens physique dans la métrique de Schwarzschild, donc ${\displaystyle \textstyle {\frac {dr}{dt}}}$ n'a pas de sens physique.

Cette contradiction entre aspects mathématique et physique montre que cette métrique est impropre à décrire toutes les possibilités dynamiques d'un corps aux abords d'un trou noir.

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