Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker[1],[2] (ci-après FLRW) permet de décrire un espace-temps de géométrie homogène et isotrope. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'Univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang[3].

Suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon les noms d'une partie des quatre scientifiques : Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker. On trouvera, par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW), Friedmann-Lemaître (FL)...

Évolution de l'Univers selon la métrique FLRW

La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.

Formulation mathématique

En coordonnées sphériques [4], l'élément de longueur d'espace-temps , pour la métrique FLRW, se note :

en choisissant la signature de la métrique (en)  :

  • est le facteur d'échelle. Le signe de renseigne sur l'évolution de l'Univers : pour un univers en expansion, pour un univers en contraction et pour un univers statique, le tout considéré au temps . Pour un temps tel que , l'univers est fois plus grand que maintenant. Pour un temps tel que , l'univers est fois plus petit que maintenant ;
  • est le facteur de courbure[5]. pour un espace respectivement à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte) et à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique) ;
  • [4] est la métrique sur la sphère ;
  • est le temps cosmique[5].

En introduisant le changement de coordonnées : permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur se reformule :

  • .

Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale

Dans un espace plat

Pour , la métrique FLRW se note :

L'espace est plat mais pas l'espace-temps. La métrique est différente de la métrique de Minkowski caractérisant la relativité restreinte.

Dans un espace de courbure positive

Pour , la métrique FLRW s'écrit :

L'élément de longueur possédant une singularité en , on préfèrera utiliser son expression selon  :

Dans un espace de courbure négative

Pour , il vient finalement :

Notes et références

  1. Barrau et Grain 2016, § 7.1.2 (« Forme de la métrique »), p. 131.
  2. Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.Robertson-Walker (métrique de), p. 609, col. 1.
  3. L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics, page 61, 2de édition (2006), (ISBN 3-540-32924-2)
  4. Pérez 2016, p. 269.
  5. Pérez 2016, p. 270.

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

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