Méthode Trachtenberg
La méthode Trachtenberg est une méthode de calcul mental inventée par Jacow Trachtenberg dans le but de garder un esprit sain lors de son emprisonnement dans un camp de concentration pendant 7 ans.
Pour les articles homonymes, voir Trachtenberg.
Cette méthode permet d'effectuer rapidement des multiplications complexes en les décomposant en calculs plus simples.
Remarques préliminaires
Remarque nº 1 : Dans une multiplication de deux nombres (facteurs), le premier facteur, celui qui demande à être multiplié, est appelé multiplicande et le second facteur est le multiplicateur. Le résultat de l'opération est le produit. Pour faire simple, si on veut multiplier un gros nombre par « X » fois, le gros nombre est le multiplicande et les « X » fois le multiplicateur.
Remarque nº 2 : Chiffre et nombre sont deux notions distinctes. Un nombre est écrit à l'aide de chiffres. Les astuces de calcul décrites ci-dessous se basent sur une technique simple qui consiste à considérer chaque chiffre du multiplicande en tant que nombre sur lequel on applique la règle énoncée. Par abus de langage, mais pour simplifier la compréhension des astuces, la suite de cet article n'emploiera que le terme chiffre dans son sens strict ou en remplacement du terme nombre.
Remarque nº 3 : Pour appliquer les astuces ci-dessous, il faut procéder au calcul des chiffres du produit de la droite vers la gauche (depuis les unités en remontant vers les chiffres de poids de plus en plus fort) à partir des chiffres du multiplicande dans le même ordre.
Remarque nº 4 : Il faut rajouter à gauche du multiplicande un nombre de zéros égal au nombre de chiffres dans le multiplicateur.
Ex. 1 : en multipliant 325 par 6, on prend 0325 par 6.
Ex. 2 : en multipliant 325 par 12, on prend 00325 par 12.
Remarque nº 5 : Quand on divise par deux un chiffre impair, on ne tient pas compte des chiffres après la virgule.
Ex. 1 : 3 / 2 = 1,5
Ex. 2 : 7 / 2 = 3,5
Multiplication par des petits nombres
Multiplication par 3
Règle : Soustraire le dernier chiffre à 10, le multiplier par deux et ajouter 5 s'il est impair. Soustraire les autres de 9, multiplier par deux puis ajouter la moitié du voisin de droite et enfin ajouter 5 si le chiffre est impair. Quand on a terminé les chiffres du multiplicande, on écrit devant la moitié du chiffre de gauche moins 2.
Exemple 1 : 5314 x 3 = ?
(10 - 4) * 2 = 12 ⇒ j'écris 2 au produit et je retiens 1 (9 - 1) * 2 + (4 / 2) + 5 (car 1 est impair) + 1 de retenue = 24 ⇒ 4 et retenue de 2 (9 - 3) * 2 + (1 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 2 (de retenue) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1 (9 - 5) * 2 + (3 / 2) + 5 (car 5 est impair) + 1 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et 1 de retenue (5 / 2) - 2 + 1 (de retenue) = 1 résultat de 15942
Exemple 2 : 3267 x 3 = ?
(10 - 7) * 2 + 5 (car 7 est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1 (9 - 6) * 2 + (7 / 2) + 1 (de retenue) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1 (9 - 2) * 2 + (6 / 2) + 1 (de retenue) = 18 ⇒ 8 et retenue de 1 (9 - 3) * 2 + (2 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 19 ⇒ 9 et 1 de retenue (3 / 2) - 2 + 1 (de retenue) = 0 résultat de 9801
Exemple 3 : 189 x 3 = ?
(10 - 9) * 2 + 5 (car 9 est impair) = 7 j'écris 7 (pas de retenue) (9 - 8) * 2 + (9 / 2) = 6 j'écris 6 (toujours pas de retenue) (9 - 1) * 2 + (8 / 2) + 5 (car 1 est impair) = 25 j'écris 5, je retiens 2 (1 / 2) - 2 + 2 (de retenue) = et nous avons pour finir 0 résultat de 0567 soit 567
Multiplication par 4
Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et ajouter 5 s'il est impair. Soustraire les autres de 9 et ajouter la moitié du voisin de droite et ajouter 5 si le chiffre est impair. Prendre la moitié du chiffre de gauche moins 1.
Exemple 1 : 5314 x 4 = ?
(10 - 4) =6 (9 - 1) + (4 / 2) + 5 (car 1 est impair) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1 (9 - 3) + (1 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1 (9 - 5) + (3 / 2) + 5 (car 5 est impair) + 1 (de retenue) = 11 ⇒ 1 et 1 de retenue (5 / 2) - 1 + 1 (de retenue) = 2 résultat de 21256
Exemple 2 : 3267 x 4 = ?
(10 - 7) + 5 (car 7 est impair) = 8 (9 - 6) + (7 / 2) = 6 (9 - 2) + (6 / 2) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1 (9 - 3) + (2 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et 1 de retenue (3 / 2) - 1 + 1 (de retenue) = 1 résultat de 13068
Multiplication par 5
Règle : La moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair. Si le multiplicande est impair, recopier 5, s'il est pair recopier 0.
Énoncée d'une manière différente : Chaque chiffre du produit est égal à la moitié du voisin de droite du chiffre du multiplicande occupant la même position, augmenté de 5 si ce dernier est impair. Si le multiplicande est impair, recopier 5, s'il est pair recopier 0.
Exemple 1 : 413 x 5 = 2065
4 : 2 = 2 1 : 2 = 0 3 : 2 = 1 + 5 (car "3" est le voisin de droite de "1" qui est impair) = 6 Recopier 5 (car le multiplicande est impair)
Exemple 2 : 812 x 5 = 4060
8 : 2 = 4 1 : 2 = 0 2 : 2 = 1 + 5 (car "2" est le voisin de droite de "1" qui est impair) = 6 Recopier 0 (car le multiplicande est pair)
Exemple 3 : 5036 x 5 = ?
5 : 2 = 2 0 : 2 = 0 + 5 (car "0" est le voisin de droite de "5" qui est impair) = 5 3 : 2 = 1 6 : 2 = 3 + 5 (car "6" est le voisin de droite de "3" qui est impair) = 8 Recopier 0 (car le multiplicande est pair) Résultat : 25180
Multiplication par 6
Règle : Ajouter la moitié du voisin de droite à chaque chiffre, plus 5 si le chiffre est impair et l'éventuelle retenue du rang immédiatement inférieur.
Exemple 1 : 5314 x 6 = ?
On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque nº 4) On commence par la droite (remarque nº 3) 4 (n'a pas de voisin de droite) ⇒ 4 1 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 8 3 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 8 5 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1 0 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3 résultat de 31884
Exemple 2 : 3267 x 6 = ?
On rajoute un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque nº 4) 7 (n'a pas de voisin de droite) + 5 (car "7" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1 6 + (7 : 2) + 1 (retenue précédente) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1 2 + (6 : 2) + 1 (retenue précédente) = 6 3 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 9 0 + (3 : 2) = 1 résultat de 19602
Multiplication par 7
Règle : Doubler chaque chiffre et ajouter la moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair.
Exemple 1 : 5314 x 7 = ?
On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque nº 4) 4 * 2 = 8 1 * 2 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 9 3 * 2 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1 5 * 2 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) + 1 (de retenue) = 17 ⇒ 7 et retenue de 1 0 * 2 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3 résultat de 37198
Exemple 2 : 3267 x 7 = ?
On commence par rajouter un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque nº 4) 7 * 2 + 5 (car "7" est impair) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1 6 * 2 + (7 : 2) + 1 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1 2 * 2 + (6 : 2) + 1 (de retenue) = 8 3 * 2 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1 0 * 2 + (3 : 2) + 1 (retenue précédente) = 2 résultat de 22869
Multiplication par 8
Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et doubler le résultat. Soustraire les autres chiffres de 9. Doubler le résultat et ajouter au voisin de droite. Enlever 2 au premier chiffre.
Exemple 1 : 5314 x 8 = ?
(10 - 4) * 2 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1 (9 - 1) * 2 + 4 + 1 (retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2 (9 - 3) * 2 + 1 + 2 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1 (9 - 5) * 2 + 3 + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1 (5 - 2) + 1 (de retenue) = 4 résultat de 42512
Exemple 2 : 3267 x 8 = ?
(10 - 7) * 2 = 6 (9 - 6) * 2 + 7 = 13 ⇒ 3 et retenue de 1 (9 - 2) * 2 + 6 + 1 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2 (9 - 3) * 2 + 2 + 2 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1 (3 - 2) + 1 (de retenue) = 2 résultat de 26136
Multiplication par 9
Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10, soustraire les autres de 9 et ajouter le résultat au voisin de droite. Soustraire 1 au premier chiffre.
Exemple 1 : 5314 x 9 = ?
(10 - 4) = 6 (9 - 1) + 4 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1 (9 - 3) + 1 + 1 (de retenue) = 8 (9 - 5) + 3 = 7 (5 - 1) = 4 résultat de 47826
Exemple 2 : 3267 x 9 = ?
(10 - 7) = 3 (9 - 6) + 7 = 10 ⇒ 0 et retenue de 1 (9 - 2) + 6 + 1 (de retenue) = 14 ⇒ 4 et retenue de 1 (9 - 3) + 2 + 1 (de retenue) = 9 (3 - 1) = ' '2 Résultat de 29403
Multiplication par 10
Règle : Rajouter un 0 à droite.
Multiplication par 11
Règle : Recopier le dernier chiffre. Additionner 2 par 2 les chiffres voisins. Recopier le premier chiffre du multiplicande. Ajouter l'éventuelle retenue du calcul précédent.
Exemple : 3 422 x 11 = 37 642
Recopier 2. 2 + 2 = 4 4 + 2 = 6 3 + 4 = 7 Recopier 3
Exemple : 5 781 x 11 = 63 591
Recopier 1. 8 + 1 = 9 7 + 8 = 15, on retient le 5 et on ajoutera une retenue au calcul suivant 5 + 7 = 12 + 1 = 13, on retient le 3 et on ajoutera une retenue au calcul suivant 5 + 1 (retenue) = 6
Multiplication par 12
Règle : Doubler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).
Exemple 1 : 314 x 12 = 3 768
4 * 2 = 8 1 * 2 + 4 = 6 3 * 2 + 1 = 7 Recopier 3
Exemple 2 : 5267 x 12 = ?
7 * 2 = 14 ⇒ 4 et retenue de 1 6 * 2 + 7 + 1 (de retenue) = 20 ⇒ 0 et 2 de retenue 2 * 2 + 6 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue 5 * 2 + 2 + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et retenue de 1 Recopier 5 + 1 (de retenue) = 6 Résultat de 63204
Multiplication par 13
Règle : Tripler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).
Exemple 1 : 321 x 13 = 4 173
1 * 3 = 3 2 * 3 + 1 = 7 3 * 3 + 2 = 11 ⇒ 1 et retenue de 1 Recopier 3 + 1 (de retenue) = 4
Exemple 2 : 1247 x 13 = ?
7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2 4 * 3 + 7 + 2 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et 2 de retenue 2 * 3 + 4 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue 1 * 3 + 2 + 1 (de retenue) = 6 Recopier 1 Résultat de 16211
Produit en croix
Nombres à deux chiffres
Pour multiplier ab par cd, on calcule de droite à gauche bd, ad+bc (le « produit en croix ») et ac, et on les additionne en tenant compte des décalages.
Exemple : 47 x 53 = ?
7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
4 * 3 + 7 * 5 + 2 (de retenue) = 49 ⇒ 9 et retenue de 4
4 * 5 + 4 (de retenue) = 24 ⇒ 4 et retenue de 2
Résultat : 2491
Nombres à trois chiffres
Pour multiplier abc par def, on calcule de droite à gauche cf, bf+ce, af+be+cd, ae+bd (les « produits en croix ») et ad, et on les additionne en tenant compte des décalages.
Exemple : 247 x 153 = ?
7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
4 * 3 + 7 * 5 + 2 (de retenue) = 49 ⇒ 9 et retenue de 4
2 * 3 + 4 * 5 + 7 * 1 + 4 (de retenue) = 37 ⇒ 7 et retenue de 3
2 * 5 + 4 * 1 + 3 (de retenue) = 17 ⇒ 7 et retenue de 1
2 * 1 + 1 (de retenue) = 3
Résultat : 37791
Référence
(en) J. Trachtenberg, The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA (1960).
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