Loi logarithmique

En Probabilité et en statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant:

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

Logarithmique
Paramètres	${\displaystyle p\in \left]0,1\right[\!}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Support	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$
Fonction de masse	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln q}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln q}}\!}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln q}}\;{\frac {p}{q}}\!}$
Mode	${\displaystyle 1}$
Variance	${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln q}{q^{2}\,\ln ^{2}q}}\!}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle {\frac {\ln(q\,\exp(t))}{\ln q}}\!}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle {\frac {\ln(q\,\exp(i\,t))}{\ln q}}\!}$
Fonction génératrice des probabilités	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pt)}{\ln q}}}$

pour ${\displaystyle 0<p<1}$. On peut en déduire l'identité qui suit:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p):

${\displaystyle f(k;p)=P(X=k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

pour ${\displaystyle k\geq 1}$, et où ${\displaystyle 0<p<1}$.

La fonction de répartition associée est

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

où ${\displaystyle \mathrm {B} }$ est la fonction bêta incomplète.

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative: si ${\displaystyle N}$ est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que ${\displaystyle X_{i}}$, ${\displaystyle i}$ = 1, 2, 3, ... est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}X_{i}}$

est distribuée selon une loi binomiale négative.

Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.