Loi du cosinus surélevé

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du cosinus surélevé est une loi de probabilité continue définie à partir de la fonction cosinus. Elle dépend de deux paramètres : un réel $μ$ qui est la moyenne et un paramètre positif $s$ décrivant la variance.

Loi du cosinus surélevé
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ $s>0\,$
Support	$x\in [\mu -s,\mu +s]\,$
Densité de probabilité	${\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,$
Fonction de répartition	${\frac {1}{2}}\left[1\!+\!{\frac {x\!-\!\mu }{s}}\!+\!{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$
Espérance	$\mu \,$
Médiane	$\mu \,$
Mode	$\mu \,$
Variance	$s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,$
Asymétrie	$0\,$
Kurtosis normalisé	${\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}\,$
Fonction génératrice des moments	${\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}$
Fonction caractéristique	${\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}$

Lorsque $μ = 0$ et $s =1$ , la loi est appelée loi du cosinus surélevé standard.

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé a pour support l'intervalle $[μ - s, μ + s]$ et est donnée par :

f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x\!-\!\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,&{\hbox{ pour }}\mu -s\leq x\leq \mu +s\\0&{\textrm {sinon.}}\end{cases}}

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi du cosinus surélevé est

F(x;\mu ,s)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\mu -s,\\{\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\hbox{ pour }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\1&{\hbox{ pour }}x>\mu +s.\end{cases}}

Moments

Les moments de la loi du cosinus surélevé sont plutôt compliqués, mais sont cependant beaucoup plus simples dans le cas de la loi du cosinus surélevé standard. Cette loi est la loi du cosinus surélevé pour les paramètres $μ = 0$ et $s =1$ . puisque la densité de probabilité de la loi du cosinus surélevé standard est une fonction paire, les moments d'ordre impair sont alors nuls. Les moments d'ordre pair sont donnés par :

E(x^{2n})={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,\mathrm {d} x

={\frac {1}{n\!+\!1}}+{\frac {1}{1\!+\!2n}}\,_{1}F_{2}\left(n\!+\!{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n\!+\!{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)

où $1 F 2$ est une fonction hypergéométrique généralisée.

Références

(en) Horst Rinne, « Location–Scale Distributions - Linear Estimation and Probability Plotting Using MATLAB », 2010 (consulté le 7 mars 12), p. 116

Portail des probabilités et de la statistique

Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.