Loi de Kumaraswamy

Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par

${\displaystyle m_{n}=\mathbb {E} (X^{n})={\frac {b\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{a}}\right)\Gamma (b)}{\Gamma \left(1+b+{\tfrac {n}{a}}\right)}}=b\mathrm {B} \left(1+{\frac {n}{a}},b\right)\,}$

où Γ est la fonction gamma et Β est la fonction bêta. La variance, l'asymétrie et le kurtosis peuvent être calculés à partir de ces moments ; par exemple, la variance est donnée par :

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

La loi de Kumaraswamy possède des relations étroites avec la loi bêta. On considère ${\displaystyle X_{a,b}}$ est une variable aléatoire de la loi de Kumaraswamy avec les paramètres a et b. Alors ${\displaystyle X_{a,b}}$ est la racine a-ième d'une variable aléatoire de loi bêta.

Plus formellement, notons ${\displaystyle Y_{1,b}}$ est une variable aléatoire de loi bêta avec pour paramètres ${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta =b}$. il existe alors une relation entre ${\displaystyle X_{a,b}}$ et ${\displaystyle Y_{1,b}}$ :

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

dont l'égalité est une égalité entre lois, c'est-à-dire :

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{a,b}\leq x)=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\mathbb {P} (Y_{1,b}\leq x^{a})=\mathbb {P} (Y_{1,b}^{1/a}\leq x).}$

On peut alors introduire des lois de Kumaraswamy en considérant des variables aléatoires de la forme ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$, avec ${\displaystyle \gamma >0}$ et où ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$ est une variable aléatoire de loi bêta avec paramètres ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$. Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par :

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

Il est à remarquer que l'on peut obtenir les moments originaux en posant ${\displaystyle \alpha =1}$, ${\displaystyle \beta =b}$ et ${\displaystyle \gamma =a}$. La fonction de répartition n'a cependant pas une forme simple.

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$ alors ${\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0,1)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (loi uniforme continue) alors ${\displaystyle {\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$ (loi bêta) alors ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$ (loi bêta) alors ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ alors ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$ alors ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ alors ${\displaystyle -\ln(X)\sim {\mathcal {E}}(a)\,}$, où ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )\,}$ désigne la loi exponentielle de paramètre λ.
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$ alors ${\displaystyle -\ln(1-X)\sim {\mathcal {E}}(b)\,.}$