Logique intuitionniste

La négation peut se définir à partir de l'implication : ${\displaystyle \lnot A}$ se définit comme ${\displaystyle A\Rightarrow \bot }$. En logique propositionnelle classique, on peut définir la disjonction (le « ou ») à partir du « et » et de la négation grâce aux lois de Morgan. Par exemple, ${\displaystyle (A\lor B)}$ peut se définir comme un raccourci d'écriture pour ${\displaystyle \lnot (\lnot A\land \lnot B)}$. En logique propositionnelle intuitionniste, ce n'est plus le cas et chaque opérateur a une interprétation différente (cf. tableau ci-dessus)[9]. De même, on ne peut pas définir ${\displaystyle \exists xA(x)}$ comme ${\displaystyle \lnot \forall x\lnot A(x)}$.

La logique minimale implicative a pour seul connecteur l'implication ${\displaystyle \Rightarrow }$. En déduction naturelle, ses règles, outre la règle axiome :

${\displaystyle {\frac {}{\Gamma ,\varphi \vdash \varphi }}\quad ({\text{axiome}})}$

sont :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash \varphi \Rightarrow \psi \quad \Gamma \vdash \varphi }{\Gamma \vdash \psi }}\quad (\Rightarrow E)\qquad \qquad \qquad {\frac {\Gamma ,\varphi \vdash \psi }{\Gamma \vdash \varphi \Rightarrow \psi }}\quad (\Rightarrow I)}$

où la lettre ${\displaystyle \Gamma }$ désigne un ensemble fini de formules, et la notation ${\displaystyle \Gamma ,\varphi }$ désigne ${\displaystyle \Gamma \cup \{\varphi \}}$, où ${\displaystyle \varphi }$ peut être ou non présent dans ${\displaystyle \Gamma }$.

La règle ${\displaystyle (\Rightarrow E)}$ s'appelle la règle d'élimination de l'implication. Elle se lit comme suit : si de l'ensemble d'hypothèses ${\displaystyle \Gamma }$ on déduit ${\displaystyle \varphi \Rightarrow \psi }$ et si de plus de l'ensemble d'hypothèses ${\displaystyle \Gamma }$ on déduit ${\displaystyle \varphi }$ alors de l'ensemble d'hypothèses ${\displaystyle \Gamma }$ on déduit ${\displaystyle \psi }$. L'élimination de l'implication est aussi appelée modus ponens.

La règle ${\displaystyle (\Rightarrow I)}$ s'appelle la règle d'introduction de l'implication. Elle se lit comme suit : si de l'ensemble d'hypothèses ${\displaystyle \Gamma }$ et de l'hypothèse ${\displaystyle \varphi }$ on déduit ${\displaystyle \psi }$ alors de l'ensemble d'hypothèses ${\displaystyle \Gamma }$ on déduit ${\displaystyle \varphi \Rightarrow \psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ peut appartenir ou ne pas appartenir à ${\displaystyle \Gamma }$).

La loi de Peirce ${\displaystyle ((\varphi \Rightarrow \psi )\Rightarrow \varphi )\Rightarrow \varphi }$ ou la proposition ${\displaystyle ((\varphi \Rightarrow \psi )\Rightarrow \rho )\Rightarrow ((\psi \Rightarrow \varphi )\Rightarrow \rho )\Rightarrow \rho }$, qui sont des tautologies de la logique classique, ne sont pas démontrables dans ce système de déduction. En lui ajoutant, par exemple la loi de Peirce, on obtient un système déductivement complet au sens de la logique classique pour les formules purement implicationnelles (voir Calcul propositionnel implicationnel (en)).

La logique intuitionniste comporte les règles de l'implication, de la logique minimale, plus les règles ci-dessous régissant les autres connecteurs.

Le faux ou absurde, ⊥, est un connecteur zéro-aire, c'est-à-dire qui n'a pas de proposition en argument, il est régi par la règle :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash \bot }{\Gamma \vdash \varphi }}\qquad (\bot E).}$

Cette règle est nommée principe d'explosion, ou en latin, ex falso quodlibet. Le principe d'explosion signifie que si un ensemble de propositions Γ conduit à l'absurde ⊥, alors de Γ, on peut déduire n'importe quelle proposition ${\displaystyle \varphi }$.

Traditionnellement, on considère la négation ${\displaystyle \neg \varphi }$ comme l'abréviation ${\displaystyle \varphi \Rightarrow \bot }$ et on ne donne donc pas habituellement de règles correspondant à la négation. Cependant on pourrait en donner, pour simplifier des démonstrations et elles seraient :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash \neg \varphi \quad \Gamma \vdash \varphi }{\Gamma \vdash \bot }}~(\neg E)\qquad \qquad {\frac {\Gamma ,\varphi \vdash \bot }{\Gamma \vdash \neg \varphi }}~(\neg I)}$

Il est à noter que ces règles pour la négation intuitionnistes sont plus faibles que celles de la négation classique, car pour exemple on ne peut pas y déduire ${\displaystyle \varphi }$ de ${\displaystyle \neg \neg \varphi }$.

Au connecteur ${\displaystyle \land }$ (conjonction), on associe deux règles d'élimination, ${\displaystyle \land E_{1}}$ et ${\displaystyle \land E_{2}}$, et une règle d'introduction.

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A_{1}\land A_{2}}{\Gamma \vdash A_{i}}}\quad (\land E_{i})\qquad \qquad \qquad {\frac {\Gamma \vdash A\quad \Gamma \vdash B}{\Gamma \vdash A\land B}}\quad (\land I)}$où ${\displaystyle A\land B}$ se lit « A et B ».

Au connecteur ${\displaystyle \vee }$ (disjonction), on associe une règle d'élimination et deux règles d'introduction :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A\vee B\quad \Gamma ,A\vdash C\quad \Gamma ,B\vdash C}{\Gamma \vdash C}}\quad (\vee E)\qquad \qquad \qquad {\frac {\Gamma \vdash A_{i}}{\Gamma \vdash A_{1}\vee A_{2}}}\quad (\vee I_{i})}$.

On remarque que la règle d'élimination de la disjonction est une règle tryadique : elle a trois prémisses.

En plus des règles du calcul propositionnel intuitionniste, le calcul des prédicats intuitionniste contient de nouvelles règles d'introduction et d'élimination pour les quantificateurs « quel que soit » et « il existe ».

Remarque : Nous rappelons que A[t/x] signifie le remplacement de toutes les occurrences librement substituables de la variable x par le terme t ; voir calcul des prédicats pour les notions de « variable », « terme », « substitution » et de « librement substituable ».

${\displaystyle {\frac {\Gamma ,A[t/x]\vdash B}{\Gamma ,\forall xA\vdash B}}(\forall E)}$ ${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A}{\Gamma \vdash \forall xA}}(\forall I)}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A[t/x]}{\Gamma \vdash \exists xA}}(\exists E)}$ ${\displaystyle {\frac {\Gamma ,A\vdash B}{\Gamma ,\exists xA\vdash B}}(\exists I)}$

Un modèle de Kripke pour la logique intuitionniste. Plus on avance dans le temps, plus on apprend des variables propositionnelles.

On peut donner une sémantique à la logique intuitionniste qui est une sémantique de Kripke[11]. Un modèle de Kripke ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est un graphe où :

• les nœuds sont des mondes possibles. Selon Kripke, ces mondes représentent des contenus d'information fondés sur des preuves (evidential situations)[11]. Chaque monde est muni d'une valuation classique : intuitivement, pour chaque variable propositionnelle p, p est vraie dans un monde si on a assez d'information pour prouver p et p est fausse sinon ;
• une relation d'accessibilité de préordre sur les mondes : une relation réflexive et transitive hiérarchise les mondes. Pour Kripke, un arc m → m' signifie que m' est dans le « futur »[11]^,[12] de m ;
• la valuation est telle que si une variable propositionnelle p est vraie dans m et que m' est dans le « futur » de m, p est aussi vraie dans m' (on ne perd pas d'information et donc on peut toujours prouver p).

Pour dire qu'un monde ${\displaystyle m}$ satisfait une formule ${\displaystyle \varphi }$, on dit aussi que le monde ${\displaystyle m}$ force[11]^,[12] une formule ${\displaystyle \varphi }$. La relation forçage de (ou de réalisabilité) est définie par induction structurelle par :

• le monde ${\displaystyle m}$ force une variable propositionnelle ${\displaystyle p}$ si ${\displaystyle p}$ est vraie dans le monde m ;
• le monde ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle (\varphi \land \psi )}$ si ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle \psi }$ ;
• le monde ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle (\varphi \lor \psi )}$ si ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle \varphi }$ ou ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle \psi }$ ;
• le monde ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle (\varphi \Rightarrow \psi )}$ si pour tout monde ${\displaystyle m'}$ accessible depuis ${\displaystyle m}$, si ${\displaystyle m'}$ force ${\displaystyle \varphi }$ alors ${\displaystyle m'}$ force ${\displaystyle \psi }$ (certains auteurs appellent l'ensemble des mondes accessibles depuis un monde un cône^{[réf. nécessaire]}).

Une formule ${\displaystyle \varphi }$ est valide si pour tout monde ${\displaystyle m}$ de tout modèle ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, ${\displaystyle m}$ force ${\displaystyle \varphi }$.

Un modèle de Kripke où le monde de gauche ne force pas le tiers-exclu ${\displaystyle (p\lor \lnot p)}$ et ne force pas la loi de Peirce ${\displaystyle ((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p}$.

Considérons le modèle de Kripke à droite. Il ne satisfait pas le tiers exclu ${\displaystyle (p\lor \lnot p)}$. En effet, d'une part, le monde initial ne force pas ${\displaystyle p}$ (intuitivement, ${\displaystyle p}$ n'est pas prouvé car ${\displaystyle p}$ est fausse donc cela signifie que l'on n'a pas encore assez d'informations). D'autre part, le monde initial ne force pas ${\displaystyle \lnot p}$ n'est pas contradictoire car en fournissant un peu plus d'effort, on peut « gagner plus d'informations » et arriver dans le monde de droite et prouver ${\displaystyle p}$. Le tiers-exclu ${\displaystyle (p\lor \lnot p)}$ n'est pas valide. Aussi :

• ${\displaystyle ((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p}$ (loi de Peirce) n'est pas valide : le monde de gauche du modèle de Kripke à droite ne force pas ${\displaystyle ((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p}$ ;
• ${\displaystyle ((p\Rightarrow q)\Rightarrow r)\Rightarrow ((q\Rightarrow p)\Rightarrow r)\Rightarrow r}$ n'est pas valide.

La logique intuitionniste est correcte vis-à-vis des modèles de Kripke[13], c'est-à-dire que toute formule démontrable (par exemple avec les règles de déduction naturelle de la section précédente) est valide. On peut utiliser ce résultat pour montrer qu'une formule n'est pas démontrable en logique intuitionniste. Par exemple, comme le tiers-exclu ${\displaystyle (p\lor \lnot p)}$ ou la loi de Peirce ${\displaystyle ((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p}$ ne sont pas valides, elles ne sont pas démontrables.

Toute formule valide est démontrable[13]. La démonstration se fait de la façon suivante : si ${\displaystyle \varphi }$ n'est pas démontrable alors on peut construire un contre-modèle (infini) de ${\displaystyle \varphi }$ c'est-à-dire un modèle ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ contenant un monde qui ne force pas ${\displaystyle \varphi }$.

Les opérations ne sont pas définies l’une par rapport à l’autre (voir plus loin), et ne sont définies qu’en elles-mêmes. Elles sont définies par l’interprétation qui doit en être faite. Pour cette raison, en plus des règles de calcul, sont données les interprétations qui doivent être faites des expressions de chaque opérateur[9].

Le tableau suivant donne quelques validités de la logique intuitionniste.

Validités en logique intuitionniste	Explications pour ${\displaystyle \Rightarrow }$	Explications pour ${\displaystyle \Leftarrow }$
${\displaystyle A\Rightarrow \lnot \lnot A}$	✔ Si A est prouvable, alors il est prouvé que A n'est pas contradictoire.	✗ Par exemple, il est prouvé que « il pleut » n'est pas contradictoire (on n'obtient pas de contradiction en supposant « il pleut »). Pourtant, « il pleut » n'est pas prouvable, sauf si on sort et qu'on se fait mouiller.
${\displaystyle \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot \lnot A}$	✔ Si A est contradictoire, alors une preuve que ${\displaystyle A}$ n’est pas contradictoire donne une contradiction.	✔ Si on a une preuve que ${\displaystyle A}$ n’est pas contradictoire donne une contradiction, alors A est contradictoire.
${\displaystyle (\lnot A)\lor (\lnot B)\Rightarrow \lnot (A\land B)}$	✔ Si A est contradictoire ou B est contradictoire, alors « A et B » est contradictoire.	✗ Par exemple, être grand et petit est contradictoire. Pourtant, être grand n'est pas contradictoire et être petit n'est pas contradictoire.
${\displaystyle \lnot (A\lor B)\Leftrightarrow (\lnot A)\land (\lnot B)}$	✔ Si on obtient une contradiction d'une preuve de A ou d'une preuve de B, alors A est contradictoire et B est contradictoire.	✔ Si A est contradictoire et B est contradictoire, alors d'une preuve de A ou d'une preuve de B, on obtient une contradiction.
${\displaystyle ((\lnot A)\lor B)\Rightarrow (A\Rightarrow B)}$	✔ Si A est contradictoire ou alors B est prouvable, alors si j'ai une preuve de A (ce qui n'existe pas !), j'ai une preuve de B.	✗ Par exemple, je construis une preuve de « x>0 » qui utilise une preuve « x>1 ». Pourtant, « x>1 » n'est pas contradictoire et « x>0 » n'est pas prouvable.
${\displaystyle \lnot (\exists xA(x))\Leftrightarrow \forall x(\lnot A(x))}$	✔ Si « il existe x tel que A(x) » est contradictoire, alors pour tout x, A(x) est contradictoire.	✔ Si pour tout x, A(x) est contradictoire, alors « il existe x tel que A(x) » est contradictoire.
${\displaystyle \exists x(\lnot A(x))\Rightarrow \lnot (\forall xA(x))}$	✔ Si je peux construire un x tel que A(x) donne une contradiction, alors « pour tout x, A(x) » est contradictoire.	✗ Par exemple, « pour tout x, x est pauvre » est contradictoire (car je vois qu'il existe des richesses). Pourtant, je ne peux pas trouver un individu x (riche) tel que x est pauvre soit contradictoire.

En logique classique, les formules obtenues en remplaçant les implications par des équivalences sont des validités (le tableau contiendrait que des ✔).

On peut interpréter ${\displaystyle \lnot A}$ comme : « Il est démontré que ${\displaystyle A}$ est contradictoire ».

On dispose en logique intuitionniste du théorème suivant :

• ${\displaystyle \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot \lnot A}$

Cependant, on ne peut pas en conclure ${\displaystyle A\Leftrightarrow \lnot \lnot A}$, car cette équivalence ne peut pas être prouvée en logique intuitionniste.

On peut interpréter ${\displaystyle \lnot \lnot A}$ comme : « Il est démontré qu’il est contradictoire d’affirmer que ${\displaystyle A}$ est contradictoire », c'est-à-dire « Il est démontré que ${\displaystyle A}$ n’est pas contradictoire ». Mais on ne peut pas en déduire que « ${\displaystyle A}$ est démontrable ».

Le théorème :

• ${\displaystyle A\Rightarrow \lnot \lnot A}$

peut être démontré en logique intuitionniste. Mais la réciproque ne peut pas l'être. On n'a pas ${\displaystyle \lnot \lnot A\Rightarrow A}$. L’expression ${\displaystyle A\Rightarrow \lnot \lnot A}$ peut s’interpréter comme « d'une démonstration de ${\displaystyle A}$, on peut construire une démonstration de ${\displaystyle \neg \neg A}$ ». Mais le fait que ${\displaystyle A}$ ne soit pas contradictoire n’est pas suffisant pour établir une démonstration de « ${\displaystyle A}$ ».

À titre d'exemple, soit x un réel et ${\displaystyle A}$ la proposition x est rationnel. Démontrer ${\displaystyle A}$, c'est donner deux entiers a et b tels que x = a/b. Si ${\displaystyle A}$ est contradictoire (et donc si on a ${\displaystyle \lnot A}$), c'est que x est non rationnel, ou irrationnel. Dire que l'on a ${\displaystyle \lnot \lnot A}$, c'est dire que supposer x irrationnel conduit à une contradiction, et donc conclure que x n'est pas irrationnel. Mais ce n'est pas suffisant pour établir l'existence effective de deux entiers a et b tels que x = a/b. Ainsi, en logique intuitionniste, ne pas être irrationnel est une propriété différente et plus faible que celle d'être rationnel.

L'interprétation de ${\displaystyle A\land B}$ est : on dispose d'une preuve de ${\displaystyle A}$ et d'une preuve de ${\displaystyle B}$ (comparable à ce qu’il en est en logique classique).

En logique intuitionniste, la proposition suivante est un théorème :

• ${\displaystyle (\lnot A)\lor (\lnot B)\Rightarrow \lnot (A\land B)}$

Mais contrairement à ce qu’il en serait en logique classique, ${\displaystyle \lnot (A\land B)}$ n’est seulement qu’une conséquence de ${\displaystyle (\lnot A)\lor (\lnot B)}$, la réciproque étant fausse. En effet, supposer que ${\displaystyle A\land B}$ est contradictoire, est insuffisant en logique intuitionniste pour conclure si ${\displaystyle A}$ seul l'est ou ${\displaystyle B}$ seul ou s'ils le sont tous les deux. Par exemple, supposer qu'un nombre est à la fois rationnel et irrationnel est contradictoire, mais insuffisant pour conclure si ce nombre est irrationnel ou non.

L'interprétation de ${\displaystyle A\lor B}$ est : on a une preuve de ${\displaystyle A}$ ou une preuve de ${\displaystyle B}$.

On dispose en logique intuitionniste du théorème suivant :

• ${\displaystyle \lnot (A\lor B)\Leftrightarrow (\lnot A)\land (\lnot B)}$

A et B s’excluent mutuellement et ne sont pas simultanément démontrables. Cette situation est comparable à ce qu’il en serait dans la logique classique de Boole et Karnaugh.

Par contre, le théorème suivant :

• ${\displaystyle ((\lnot A)\lor B)\Rightarrow (A\Rightarrow B)}$

est valide en logique intuitionniste, mais pas sa réciproque. En effet, si x est un nombre réel, on sait que s'il est rationnel alors il n'est pas irrationnel, mais on n'est pas pour autant capable de conclure si ce nombre est irrationnel ou non.

L'interprétation de ${\displaystyle \exists xA(x)}$ est : nous pouvons créer un objet ${\displaystyle x}$ et prouver que ${\displaystyle A(x)}$. L'existence de x est ici effective ou constructive. Il ne s'agit pas d'une existence théorique d'un élément ${\displaystyle x}$ vérifiant ${\displaystyle A(x)}$.

On dispose du théorème suivant :

• ${\displaystyle \lnot (\exists xA(x))\Leftrightarrow \forall x(\lnot A(x))}$

S’il n’existe pas de x qui vérifie A(x) alors pour tous les x on ne vérifie pas A(x), d’où l’équivalence (qui correspond à l’intuition et se formule naturellement). Cette propriété est comparable à ce qu’il en serait en logique classique.

L'interprétation de ${\displaystyle \forall xA(x)}$ est : on a une preuve que pour chaque x appartenant à l’ensemble spécifié, on peut prouver A(x) (comparable à ce qu’il en est en logique classique).

On dispose en logique intuitionniste du théorème suivant :

• ${\displaystyle \exists x(\lnot A(x))\Rightarrow \lnot (\forall xA(x))}$

Mais contrairement à ce qu’il en serait en logique classique, la réciproque est fausse. En effet, cette réciproque exigerait que, en supposant contradictoire l'universalité de la propriété ${\displaystyle A(x)}$, on soit capable d'exhiber explicitement un objet x invalidant ${\displaystyle A(x)}$, ce qui est rarement possible.

On peut aussi dire que, en logique intuitionniste, l'affirmation de ${\displaystyle \exists xA(x)}$ est l'affirmation de l'existence effective et constructible d'un objet x validant ${\displaystyle A(x)}$, alors que ${\displaystyle \lnot (\forall x\lnot A(x))}$ n'en est que l'existence théorique, exprimant seulement qu'il est contradictoire que ${\displaystyle A(x)}$ soit universellement contradictoire. La logique classique ne fait aucune distinction entre ces deux existences, alors que la logique intuitionniste considère la deuxième comme plus faible que la première.

La proposition suivante

• ${\displaystyle A\lor \lnot A}$

est un théorème de la logique classique, mais pas de la logique intuitionniste. Dans cette dernière, elle signifierait que nous pouvons prouver ${\displaystyle A}$ ou prouver ${\displaystyle \lnot A}$, ce qui n'est pas toujours possible.

Par exemple, en arithmétique munie de la logique intuitionniste (dite arithmétique de Heyting), l’expression ${\displaystyle (x=y\lor x\neq y)}$ est valide, car pour tout couple d'entiers, on peut prouver qu'ils sont égaux, ou on peut prouver qu'ils sont différents. Il en est de même pour deux rationnels. Mais pour deux réels en analyse constructive, on ne dispose pas de méthode générale permettant de prouver que ${\displaystyle x=y}$ ou de prouver que ${\displaystyle x\neq y}$. Cette situation correspond bien à ce qu'on rencontre en algorithmique, où l’égalité ou l’inégalité entre deux réels peut être non calculable, c'est-à-dire, non décidable.

Pour mieux comprendre, on remarquera dans ce qui précède, que contrairement à ce qu’il en est dans la logique de Boole, la conjonction ${\displaystyle \land }$ ne peut pas être reformulée en termes de disjonction ${\displaystyle \lor }$ et que le quantificateur existentiel ${\displaystyle \exists }$ ne peut pas être reformulé en termes de quantificateur universel ${\displaystyle \forall }$ ; ceci en vertu du principe du constructivisme. Dit d’une autre manière et dans des termes peut-être plus proches de l’informatique : il n’est pas permis de réduire les contraintes d’une expression.

Les interprétations des expressions ne se font pas à l'aide de ${\displaystyle Vrai}$ et ${\displaystyle Faux}$, mais grâce aux concepts Prouvable et Contradictoire.

Kurt Gödel a proposé une traduction de la logique classique dans la logique intuitionniste : la « non-non traduction (en) », qui rend démontrable en logique intuitionniste toute formule démontrable en logique classique. Ainsi, en ce sens précis, la logique intuitionniste ne démontre pas moins que la logique classique.

De manière plus économe que la saturation des formules et sous-formules par des doubles négations, Gödel a remarqué que si on considère une fonction ${\displaystyle f}$ de l'ensemble des formules dans l'ensemble des formules définie par :

1. ${\displaystyle f(\bot )=\bot }$
2. ${\displaystyle f(A)=\neg (\neg A)}$, pour une formule atomique ${\displaystyle A}$ différente de ⊥
3. ${\displaystyle f(A\land B)=f(A)\land f(B)}$
4. ${\displaystyle f(A\lor B)=\neg \left[\neg f(A)\land \neg f(B)\right]}$
5. ${\displaystyle f(A\Rightarrow B)=f(A)\Rightarrow f(B)}$
6. ${\displaystyle f(\forall xP(x))=\forall xf(P(x))}$
7. ${\displaystyle f(\exists xP(x))=\neg (\forall x\neg f(P(x))}$ ;

où ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des formules quelconques et ${\displaystyle P}$ est une formule ayant ${\displaystyle x}$ comme paramètre ;

alors on a le théorème suivant :

• ${\displaystyle \Gamma \vdash _{c}A\Leftrightarrow f(\Gamma )\vdash _{i}f(A)}$.

Où ${\displaystyle \vdash _{c}}$ est la déduction classique et ${\displaystyle \vdash _{i}}$ est la déduction intuitionniste.

La logique intuitionniste peut être traduite dans la logique modale classique S4[14] munie d'une modalité ${\displaystyle \Box }$. La construction ${\displaystyle \Box A}$ se lit « ${\displaystyle A}$ est prouvable »[15]. La traduction est définie par :

${\displaystyle T(p)=\Box p}$ pour toute variable propositionnelle ${\displaystyle p}$ ;

${\displaystyle T(\bot _{i})=\bot _{c}}$ ;

${\displaystyle T(A\land _{i}B)=T(A)\land _{c}T(B)}$ ;

${\displaystyle T(A\lor _{i}B)=T(A)\lor _{c}T(B)}$ ;

${\displaystyle T(A\to _{i}B)=\Box (T(A)\to _{c}T(B))}$.

Une formule ${\displaystyle A}$ est valide en logique intuitionniste si et seulement si ${\displaystyle T(A)}$ est valide dans la logique modale S4 classique (c'est-à-dire valide sur les modèles de Kripke réflexifs et transitifs).

Le problème de la décision de la satisfiabilité et le problème de la décision de la validité en logique propositionnelle intuitionniste sont PSPACE-complets[16]. D'ailleurs, ils demeurent PSPACE-complets même si on restreint les formules à deux variables[17].

• Jean Largeault, Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris, J. Vrin, 1992, 566 p. (ISBN 2-7116-1059-4, présentation en ligne)
  Textes de Bernays, Brouwer, Gentzen, Gödel, Hilbert, Kreisel et Weyl réunis, traduits et présentés par Jean Largeault.
• Arend Heyting Les fondements des mathématiques, intuitionnisme, théorie de la démonstration, Gauthier-Villars, Nauwelaerts, 1955, 91 pages.
• Jean Largeault, L'Intuitionisme, Paris, Presses universitaires de France, 1992.
• René David, Karim Nour et Christophe Raffali, Introduction à la logique, Dunod, 2001.
• Jean-Yves Girard, Le point aveugle, Tome I, Hermann, 2007.

• Richard Moot et Christian Retoré, « La "non-non" traduction de Gödel-Kolmogorov », Université Bordeaux I, 2007 ou sur arXiv https://arxiv.org/abs/1602.07608
• Étienne Lozes, « TD non non traduction », Laboratoire Spécification et Vérification — ENS Cachan, 2009
• Alexandre Miquel, « Réalisabilité et extraction de programmes », Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes (PPS) de Jussieu, 2005 (sur la logique intuitionniste et l’interprétation de Brouwer-Heyting-Kolmogorov — interprétation BHK)
• Michel Lévy Preuve en logique intuitionniste propositionnelle

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