Liquide de Luttinger

Le liquide de Luttinger [13] à une composante est un état des fermions sans spin unidimensionnels en interaction, analogue à la solution du modèle de Luttinger. Thermodynamiquement, cet état est semblable au liquide de Fermi unidimensionnel (la chaleur spécifique croît linéairement avec la température, et la compressibilité est constante en fonction de la température) mais il se distingue du liquide de Fermi par le comportement des fonctions de corrélations dans l'état fondamental qui décroissent en loi de puissance avec la distance et le temps avec un exposant non-universel (c.à.d. dépendant explicitement des interactions entre les électrons) et par la disparition de la discontinuité au niveau de Fermi dans la fonction de distribution en énergie des fermions. Cette discontinuité est remplacée par une singularité en loi de puissance avec un exposant qui dépend des interactions (voir plus haut). Les véritables excitations élémentaires du modèle ne sont pas des particules fermioniques, mais des particules bosoniques semblables à des phonons acoustiques, qui sont les modes de compression du système unidimensionnel. On parle de «collectivisation» des degrés de liberté. Une image classique simple, basée sur le principe d'exclusion de Pauli consiste à imaginer les fermions comme des véhicules pris dans un embouteillage. Ils ne peuvent se déplacer que si celui qui les précède leur laissse un espace, si bien que le mouvement d'ensemble des particules se réduit à la propagation d'ondes de densité. Le comportement des fonctions de corrélation du liquide de Luttinger est déterminé par deux paramètres, la vitesse de propagation des excitations ${\displaystyle u}$ et le paramètre de Luttinger ${\displaystyle K}$qui dépend du rapport de l'énergie potentielle d'interaction avec l'énergie cinétique des électrons et permet de calculer les exposants non-universels. Dans un système sans interaction, ${\displaystyle K=1}$, avec des interactions attractives ${\displaystyle K>1}$ avec des interactions répulsives ${\displaystyle K<1}$. Du point de vue de la théorie conforme des champs, le paramètre de Luttinger est le rayon de compactification[14] d'une théorie (${\displaystyle c=1}$) de bosons libres. Lorsque la température ${\displaystyle T>0}$, les fonctions de corrélations ne décroissent en loi de puissance que jusqu'à la longueur thermique ${\displaystyle \ell (T)={\frac {\hbar u}{k_{B}T}}}$, leur décroissance devient ensuite exponentielle ${\displaystyle \sim e^{-\alpha (K)|x|/\ell (T)}}$. les fonctions de réponse correspondantes présentent des divergences en loi de puissance avec la température.

Les paramètres ${\displaystyle u,K}$sont reliées à des observables macroscopiques[11]^,[9]. Ainsi, la chaleur spécifique ${\displaystyle C_{v}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{2}T}{3u}}}$, la raideur de charge ${\displaystyle \mathbb {D} =e^{2}{\frac {uK}{\pi }}}$, et la compressibilité ${\displaystyle \chi ={\frac {K}{\pi \hbar n^{2}u}}}$, où ${\displaystyle e}$ est la charge d'un fermion et ${\displaystyle n}$ la densité. Dans le cas d'un système invariant par transformations de Galilée, la deuxième relation se simplifie en ${\displaystyle uK={\frac {\hbar \pi n}{m}}}$, vitesse de Fermi en l'absence d'interaction. Deux de ces relations permettent d'obtenir les paramètres du Liquide de Luttinger par exemple en calculant le spectre de basse énergie, avec la méthode de Lanczos, ou l'énergie libre par la méthode Monte Carlo Quantique. Il est aussi possible d'extraire directement l'exposant de Luttinger du calcul des fonctions de corrélation à temps égal dans l'état fondamental par la méthode de Density Matrix Renormalization Group.

Le liquide de Luttinger à une composante s'obtient aussi avec des bosons unidimensionnels avec interactions[11] répulsives (par exemple dans le modèle de Girardeau[15] ou le modèle de Lieb et Liniger[16]) ou des chaînes de spin antiferromagnétiques[17] de spin demi-entier impair ou de spin entier en présence d'un champ magnétique fermant le gap de Haldane.

Il existe des relations analogues pour déterminer les paramètres du liquide de Luttinger, dans le cas des chaînes de spin, la raideur de spin joue le rôle de la raideur de charge, et la susceptibilité magnétique joue le rôle de la compressibilité.

Dans le cas du système de spin 1/2 isotrope, le liquide de Luttinger présente des corrections logarithmiques dans la susceptibilité magnétique et dans les fonctions de réponse. L'origine de ces corrections est la présence d'un opérateur marginalement inessentiel dans le hamiltonien du liquide de Luttinger.

Le liquide de Luttinger à deux composantes[9]^,[18] est obtenu dans les modèles fermioniques (généralement des électrons) de spin-1/2, dans le continuum comme le modèle de Gaudin-Yang ou sur réseau comme dans le modèle t-J ou le modèle de Hubbard unidimensionnels. Il se caractérise par la «collectivisation» des degrés de libertés individuels (c.à.d. que les excitations de basse énergie ne sont plus des quasiparticules possédant la statistique de Fermi-Dirac, portant une charge égale à celle de l'électron et un spin 1/2 mais des particules bosoniques décrivant des modes collectifs de charge ou de spin) la séparation spin-charge (c.à.d. la propagation indépendante des modes de charge et de spin). Le liquide à deux composantes est caractérisé[9] par la vitesse des excitations de charge ${\displaystyle u_{c}}$, la vitesse des excitations de spin ${\displaystyle u_{s}}$, l'exposant de Luttinger de charge ${\displaystyle K_{c}}$et l'exposant de Luttinger de spin ${\displaystyle K_{s}}$. En l'absence d'interaction, ${\displaystyle K_{c}=K_{s}=1}$, et ${\displaystyle u_{s}=u_{c}}$ sont égales à la vitesse de Fermi. Pour des interactions qui préservent l'invariance par rotation de spin, ${\displaystyle K_{s}=1}$, mais des corrections logarithmiques sont présentes comme dans les cas des chaînes de spin-1/2.

Un liquide de Luttinger à plus de deux composantes[19] peut être réalisé par exemple avec des fermions possédant une symétrie SU(N),

avec ${\displaystyle N>=3}$.

Un liquide de Luttinger chiral[20]^,[21]est obtenu dans les états de bord de l'Effet Hall quantique entier ou fractionnaire. Dans le liquide chiral,

au lieu d'avoir deux modes de densité de charge, se propageant vers la gauche ou vers la droite, il n'existe plus qu'un mode se propageant par exemple vers la droite. Il peut être vu comme un demi-Liquide de Luttinger à une composante. Du point de vue de la théorie conforme, seul le secteur holomorphe ou anti-holomorphe est présent.

Les états de bord des Isolants topologiques bidimensionnels, du fait du couplage spin-orbite, ont une projection constante du spin sur la quantité de mouvement: par exemple, les électrons de spin ${\displaystyle S^{z}=+1/2}$ ont une quantité de mouvement positive, tandis que les électrons de spin ${\displaystyle S^{z}=-1/2}$ ont une quantité de mouvement négative. Cette propriété est analogue à l'hélicité en physique des particules. En présence d'interactions, le traitement théorique est identique à celui des fermions sans spin[22]^,[23]. On obtient un état Liquide de Luttinger qui peut être vu comme la juxtaposition de deux liquides de Luttinger chiraux contre-propageants.