Gap de Haldane

Le gap de Haldane est une bande d'énergie interdite (gap en anglais) entre l'état fondamental de type singulet d'une chaîne antiferromagnétique de spins quantiques entiers et son premier état excité de type triplet. Cette bande d'énergie interdite a été prédite théoriquement[1] par

Duncan Haldane en 1983 en considérant la limite continue de la chaîne de spin entier. L'existence du gap de Haldane a été ensuite vérifiée par Botet et Jullien[2] dans le cas d'une chaîne de spin-1. Pour la chaîne de spin-1, la largeur du gap vaut $\Delta \simeq 0.41J$ , où $J$ est la constante d'échange entre spins premier voisins. Lorsque le spin augmente, cette largeur décroît rapidement et tend vers zéro pour $S\to +\infty$ .

Expérimentalement, le gap de Haldane est observé dans plusieurs matériaux plus ou moins anisotropes à base de nickel (les ions ${\ce {Ni^{2+}}}$ se comportant effectivement comme des spins 1). On peut citer ${\ce {CsNiCl_3}}$ [3], ${\ce {Ni(C_2H_8N_2)_2NO_2ClO_4}}$ (abrégé NENP)[4], ${\ce {Ni(C_5H_{14}N_2)_2N_3PF_6}}$ (abrégé NDMAP), ${\ce {Ni(C_5H_{14}N_2)_2N_3ClO_4}}$ (abrégé NDMAZ), ${\ce {Ni[(CH_3)_4N](NO_2)_3}}$ (abrégé TMNIN)[5] ou encore ${\ce {Y_2BaNiO_5}}$ . La présence de la fente énergétique se traduit par une susceptibilité magnétique tendant vers zéro à basse température, par une composante thermiquement activée dans la chaleur spécifique et le taux de relaxation $1/T_{1}$ de la résonance magnétique nucléaire, et enfin par une décroissance exponentielle des fonctions de corrélations spin-spin qui peut être observée par diffraction neutronique.

Sous l'effet d'un champ magnétique ${\vec {B}}$ , tel que $g\mu _{B}B>\Delta$ l'énergie des excitations triplet peut être suffisamment abaissée pour permettre leur condensation. À température suffisamment élevée pour que les effets des interactions d'échange interchaîne soient négligeables, il en résulte la formation d'un liquide de Luttinger. À température plus basse, le couplage interchaîne stabilise un état de Néel, l'aimantation des sous réseaux étant dans le plan orthogonal au champ magnétique.

Du point de vue théorique, l'existence du gap de Haldane est liée à la formation d'un ordre topologique caché[6] dans les chaînes de spins antiferromagnétiques entier appelé ordre VBS (pour "Valence-Bond Solid") et associé à une brisure de symétrie discrète[7].

Un modèle de chaîne de spin-1 exactement soluble[8] qui possède cet ordre caché a été introduit par Affleck, Kennedy, Lieb et Tasaki en 1987.

Références

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(en) R. Botet et R. Jullien, « Ground-state properties of a spin-1 antiferromagnetic chain », Physical Review B, vol. 27, n^o 1,‎ 1^er janvier 1983, p. 613–615 (ISSN 0163-1829, DOI 10.1103/PhysRevB.27.613, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)
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R. Botet, R. Jullien, M. Kolb, Phys. Rev. B, 28, 3914-3920 (1983)
W.J.L. Buyers et al., Phys. Rev. Lett. 56, 371-374 (1986)
Kastumata et al., Phys. Rev. Lett. 63, 86–88 (1989)
J. Darriet et L.P. Regnault, Solid State Communications 86, 409-412 (1993)

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[1] (en) F. D. M. Haldane, « Nonlinear Field Theory of Large-Spin Heisenberg Antiferromagnets: Semiclassically Quantized Solitons of the One-Dimensional Easy-Axis Néel State », Physical Review Letters, vol. 50, n^o 15,‎ 11 avril 1983, p. 1153–1156 (ISSN 0031-9007, DOI 10.1103/PhysRevLett.50.1153, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[2] (en) R. Botet et R. Jullien, « Ground-state properties of a spin-1 antiferromagnetic chain », Physical Review B, vol. 27, n^o 1,‎ 1^er janvier 1983, p. 613–615 (ISSN 0163-1829, DOI 10.1103/PhysRevB.27.613, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[3] J. P Renard, M Verdaguer, L. P Regnault et W. A. C Erkelens, « Presumption for a Quantum Energy Gap in the Quasi-One-Dimensional S = 1 Heisenberg Antiferromagnet Ni(C 2 H 8 N 2 ) 2 NO 2 (ClO 4 ) », Europhysics Letters (EPL), vol. 3, n^o 8,‎ 15 avril 1987, p. 945–952 (ISSN 0295-5075 et 1286-4854, DOI 10.1209/0295-5075/3/8/013, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[4] (en) L. P. Regnault, I. Zaliznyak, J. P. Renard et C. Vettier, « Inelastic-neutron-scattering study of the spin dynamics in the Haldane-gap system Ni( C 2 H 8 N 2 ) 2 NO 2 ClO 4 », Physical Review B, vol. 50, n^o 13,‎ 1^er octobre 1994, p. 9174–9187 (ISSN 0163-1829 et 1095-3795, DOI 10.1103/PhysRevB.50.9174, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[5] (en) V. Gadet, M. Verdaguer, V. Briois et A. Gleizes, « Structural and magnetic properties of ( CH 3 ) 4 NNi( NO 2 ) 3 : A Haldane-gap system », Physical Review B, vol. 44, n^o 2,‎ 1^er juillet 1991, p. 705–712 (ISSN 0163-1829 et 1095-3795, DOI 10.1103/PhysRevB.44.705, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[6] (en) Marcel den Nijs et Koos Rommelse, « Preroughening transitions in crystal surfaces and valence-bond phases in quantum spin chains », Physical Review B, vol. 40, n^o 7,‎ 1^er septembre 1989, p. 4709–4734 (ISSN 0163-1829, DOI 10.1103/PhysRevB.40.4709, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[7] (en) Tom Kennedy et Hal Tasaki, « Hidden Z 2 × Z 2 symmetry breaking in Haldane-gap antiferromagnets », Physical Review B, vol. 45, n^o 1,‎ 1^er janvier 1992, p. 304–307 (ISSN 0163-1829 et 1095-3795, DOI 10.1103/PhysRevB.45.304, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)

[8] (en) Ian Affleck, Tom Kennedy, Elliott H. Lieb et Hal Tasaki, « Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets », Physical Review Letters, vol. 59, n^o 7,‎ 17 août 1987, p. 799–802 (ISSN 0031-9007, DOI 10.1103/PhysRevLett.59.799, lire en ligne, consulté le 5 décembre 2020)