j (nombre complexe)

En mathématiques, on définit le nombre complexe j comme l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive.

${\rm {j}}=\exp \left({\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}\right)=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}},$ où $exp$ désigne l'exponentielle complexe.

Le nombre $j$ ne doit pas être confondu avec l'unité imaginaire $i$ qui est souvent notée $j$ en physique (pour mieux la distinguer de l'intensité électrique dont le symbole est $i$ ).

Propriétés

Le nombre $j$ possède certaines propriétés remarquables :

comme toute racine de l'unité, son module vaut 1, autrement dit : son conjugué est égal à son inverse (donc à $j 2$ ) ;
les racines cubiques de l'unité sont 1, $j$ et $j 2$ ; leur somme est nulle car $j$ est racine du polynôme $X 3 - 1 = (X - 1)(X 2 + X + 1)$ ;
dans le plan complexe, les trois points d'affixes 1, $j$ et $j 2$ forment un triangle équilatéral ;
le calcul de $j 3$ ramène par définition à $j 3 = 1$ .

Application au calcul des racines cubiques

Tout nombre complexe non nul possède exactement trois racines cubiques. Si $z$ est l'une d'entre elles, alors les deux autres sont $j z$ et $j 2 z$ .

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