Identités de Cassini, de Catalan et de Vajda
Les identités de Cassini, de Catalan et de Vajda sont trois identités mathématiques concernant les nombres de Fibonacci. L'identité de Cassini est un cas particulier de celle de Catalan, qui est elle-même un cas particulier de l'identité de Vajda (en). Cette dernière est à son tour un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.
Identité de Cassini
L'identité de Cassini est :
- .
Identité de Catalan
L'identité de Catalan est :
- .
L'identité de Cassini est ainsi le cas particulier de celle de Catalan dans le cas .
Identité de Vajda
L'identité de Vajda est :
- .
En prenant et , on retrouve l'identité de Catalan.
Références
- (en) Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms, Reading (Mass.), Addison-Wesley, , 3e éd., 134 p. (ISBN 978-0-201-85392-6, lire en ligne), p. 79-85, § 1.2.8 (« Fibonacci numbers »)
- (en) R. Simson et H. Philip, « An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard's Commentary upon Simon Stevin's Works », Philos. Trans. R. Soc., vol. 48, , p. 368-377 (DOI 10.1098/rstl.1753.0056)
- (en) M. Werman et D. Zeilberger, « A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity », Discrete Math., vol. 58, no 1, , p. 109 (DOI 10.1016/0012-365X(86)90194-9, Math Reviews 0820846)
Liens externes
- (en) « Proof of Cassini's identity », sur PlanetMath
- (en) « Proof of Catalan's Identity », sur PlanetMath
- (en) Radoslav Jovanovic, « Cassini formula for Fibonacci numbers »,
- (en) Ron Knott, « Fibonacci and Golden Ratio Formulae »,
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