Identité de polarisation

Le contexte des identités de polarisation est celui d'un espace vectoriel E quelconque sur un corps K commutatif et de caractéristique différente de deux. Soit φ une forme quadratique sur E, non nécessairement définie et non nécessairement positive (si le corps K est ordonné).

Définition —  On appelle identité de polarisation chacune des trois égalités suivantes, qui définissent l'unique forme bilinéaire symétrique f de E×E dans K telle que ${\displaystyle f(x,x)=\varphi (x)}$ :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\varphi (x+y)-\varphi (x)-\varphi (y){\bigr )},}$

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\varphi (x)+\varphi (y)-\varphi (x-y){\bigr )},}$

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)={\frac {1}{4}}{\bigl (}\varphi (x+y)-\varphi (x-y){\bigr )}.}$

En particulier, soit E un espace préhilbertien réel dont la norme d'un vecteur x est notée : ${\displaystyle \scriptstyle {\|x\|}}$ et le produit scalaire de deux vecteurs x et y : ${\displaystyle \scriptstyle {(x|y)}}$. Les deux égalités suivantes sont vérifiées :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad (x|y)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}{\bigr )}\quad }$ et ${\displaystyle \quad (x|y)={\frac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}.}$

Les identités de polarisation proviennent de la propriété suivante, si f est une forme bilinéaire de E×E quelconque :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(y,y)+f(x,y)+f(y,x)}$

et l'application qui à (x, y) associe (f(x, y) + f(y, x))/2 est symétrique.

Une conséquence des identités de polarisation est que si f est une forme bilinéaire symétrique telle que f (x,x) = 0 sur un sous-espace vectoriel F, alors f est nulle sur le sous-espace vectoriel F x F (f (x,y) = 0 pour tous éléments de F)[1].

Si le corps K sous-jacent à E n'est pas celui des réels mais est, comme lui, muni d'une valeur absolue, la notion de norme conserve un sens. Si K est le corps des complexes, la « valeur absolue » est le module. De ce point de vue, la notion de forme sesquilinéaire est l'analogue, sur un espace vectoriel complexe, de celle de forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel. Dans ce paragraphe E est un espace vectoriel complexe.

Soit g une forme sesquilinéaire (non nécessairement hermitienne) sur E. On la suppose sesquilinéaire à gauche, c'est-à-dire semi-linéaire par rapport à la première variable et C-linéaire par rapport à la seconde. On note φ(x) = g(x, x).

Définition —  On appelle formule de polarisation[1] ou forme polaire de φ[2] l'égalité suivante, permettant de retrouver la forme sesquilinéaire à gauche g de E×E dans ℂ :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad g(x,y)={\frac {1}{4}}{\bigl (}\varphi (x+y)-\varphi (x-y)+{\rm {i}}\varphi (x-{\rm {i}}y)-{\rm {i}}\varphi (x+{\rm {i}}y){\bigr )}.}$

Ici i désigne l'unité imaginaire.

Une conséquence de la formule de polarisation est que si g est une forme sesquilinéaire telle que g (x,x) = 0 sur un sous-espace vectoriel complexe F, alors g est nulle sur le sous-espace vectoriel F x F ; g (x,y) = 0 pour tous éléments x et y de F[1].

Si la forme sesquilinéaire g de départ est hermitienne, alors l'application φ est à valeurs réelles.

Réciproquement, si g est une forme sesquilinéaire (à gauche) et si la fonction φ est à valeurs réelles, la formule de polarisation montre que g est hermitienne[1] :

${\displaystyle g(y,x)={\overline {g(x,y)}}}$.

Si l'application φ (définie par φ(x) = g(x, x)) est à valeur réelle, cette application définit une forme quadratique sur l'espace vectoriel réel associé à E, c'est-à-dire qu'elle vérifie : φ (αx) = α² φ (x) si α est un nombre réel. φ est appelée la forme quadratique hermitienne associée à g[3].

La remarque sur les espaces préhilbertiens réels (paragraphe sur les formes bilinéaires) se généralise si E est un espace préhilbertien complexe dont la norme d'un vecteur x est notée : ${\displaystyle \scriptstyle {\|x\|}}$ et le produit scalaire de deux vecteurs x et y, noté ${\displaystyle \scriptstyle {(x|y)}}$ est une forme hermitienne à gauche :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad (x|y)={\frac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+{\rm {i}}\|x-\mathrm {i} y\|^{2}-{\rm {i}}\|x+{\rm {i}}y\|^{2}{\bigr )}.}$

Si la forme de départ était sesquilinéaire à droite, la formule de polarisation serait la suivante :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad h(x,y)={\frac {1}{4}}{\bigl (}\varphi (x+y)-\varphi (x-y)+{\rm {i}}\varphi (x+{\rm {i}}y)-{\rm {i}}\varphi (x-{\rm {i}}y){\bigr )}={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}{\rm {i}}^{k}\varphi (x+{\rm {i}}^{k}y).}$

Il existe d'autres formules de polarisation (données ici pour une forme sesquilinéaire à droite[2]) :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad h(x,y)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\varphi (x+y)+{\rm {i}}\varphi (x+{\rm {i}}y)-(1+{\rm {i}})(\varphi (x)+\varphi (y)){\bigr )}}$

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad h(x,y)=-{\frac {1}{2}}{\bigl (}\varphi (x-y)+{\rm {i}}\varphi (x-{\rm {i}}y)-(1+{\rm {i}})(\varphi (x)+\varphi (y)){\bigr )}.}$

Pour une forme hermitienne positive, à partir des formules précédentes, on obtient en isolant la partie réelle :

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{Re}}\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right),\\[3pt]{\text{Re}}\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right),\\[3pt]{\text{Re}}\langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right).\end{array}}}$

Pour la partie imaginaire d'une forme hermitienne (positive) à droite :

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{Im}}\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|u+\mathrm {i} v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right),\\[3pt]{\text{Im}}\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-\mathrm {i} v\|^{2}\right),\\[3pt]{\text{Im}}\langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+\mathrm {i} v\|^{2}-\|u-\mathrm {i} v\|^{2}\right).\end{array}}}$

Ces formules peuvent être réécrites pour des formes hermitiennes non nécessairement positives.

Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel réel. Si φ est une forme quadratique, elle vérifie l'égalité suivante dite règle du parallélogramme :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad \varphi (x+y)+\varphi (x-y)=2{\bigl (}\varphi (x)+\varphi (y){\bigr )}.}$

La réciproque est vraie sous l'hypothèse que pour tous vecteurs x et y, la fonction numérique t ↦ φ(x + ty) est continue, ou même seulement mesurable.

Démonstration[4]

Définissons f par l'identité de polarisation :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)={\frac {1}{4}}{\Big (}\varphi (x+y)-\varphi (x-y){\Big )}.}$

• f(x, x) = φ(x) = φ(–x) :
  • l'identité du parallélogramme, appliquée à y = x, donne : φ(2x) + φ(0) = 4φ(x), en particulier φ(0) = 0, donc f(x, x) = (φ(2x) – φ(0))/4 = φ(x) ;
  • appliquée à x = 0, elle donne (en réutilisant que φ(0) = 0) : φ(–y) = φ(y).
• f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z) :

Voir la question 5.2 de Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes#Exercice 1-4 : norme et produit scalaire sur Wikiversité.

• Pour tout vecteur z, l'application f (∙, z) est ℝ-linéaire :
  Voir l'article Équation fonctionnelle de Cauchy.
• L'application f est bilinéaire symétrique :
  Le caractère symétrique de f provient de la parité de φ et la bilinéarité se déduit alors du point précédent.

On en déduit le théorème suivant :

Conditions suffisantes. Pour qu'une norme N sur un espace vectoriel réel E dérive d'un produit scalaire, l'une quelconque des conditions nécessaires suivantes suffit[7]^,[8] :

1. ${\displaystyle \forall x,y\in E~{\text{tels que}}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x+y)^{2}+N(x-y)^{2}\leq 4.}$
2. ${\displaystyle \forall x,y\in E~{\text{tels que}}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x+y)^{2}+N(x-y)^{2}\geq 4.}$
3. Il existe une application F : [0, 2] → ℝ telle que :
   ${\displaystyle \forall x,y\in E~{\text{tels que}}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x-y)=F(N(x+y)).}$

Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel complexe préhilbertien. L'identité du parallélogramme est encore valable pour la norme.

La situation est ici encore analogue à celle des espaces réels. La norme d'un produit scalaire hermitien le caractérise. Toute norme satisfaisant l'égalité du parallélogramme est issue d'un produit scalaire.

Remarque : suivant le choix de la formule de polarisation, on obtient une forme hermitienne à gauche ou à droite (avec unicité dans chacun des deux cas).

Démonstration

Comme le cas réel est déjà traité, si E est considéré comme un espace vectoriel réel, il est équipé d'un produit scalaire f dont la norme dérive. Définissons h par :

${\displaystyle \forall x,y\in E,\quad h(x,y)=f(x,y)+{\rm {i}}f(x,{\rm {i}}y).}$

Compte tenu des propriétés acquises pour f, il suffit alors, pour démontrer que h est une forme sesquilinéaire à droite dont la norme dérive, de vérifier les trois points suivants :

1. ${\displaystyle \forall x\in E,\quad h(x,x)=f(x,x)~;}$
2. ${\displaystyle \forall x,y\in E,\quad h({\rm {i}}x,y)={\rm {i}}h(x,y)~;}$
3. ${\displaystyle \forall x,y\in E,\quad h(y,x)={\overline {h(x,y)}}.}$

• Pour tous vecteurs x et y, h(ix, y) = ih(x, y) et h(y, x) = h(x, y) :
  En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on se ramène à montrer que pour tous vecteurs z et y, f(iz, iy) = f(z, y), c'est-à-dire que l'opérateur de multiplication par i préserve le produit scalaire f. Cela résulte (via l'une quelconque des trois identités de polarisation dans le cas réel) de ce qu'il est ℝ-linéaire et préserve la norme.
• Pour tout vecteur x, h(x, x) = f(x, x) :
  D'après le point précédent, h(x, x) est égal à sa partie réelle.