Générateur de nombres pseudo-aléatoires

Comme un générateur de nombres aléatoires est exécuté sur un ordinateur déterministe, il devient de facto un algorithme déterministe. Ses sorties sont inévitablement entachées d'une caractéristique absente d'une vraie suite aléatoire : la périodicité. Avec des ressources limitées (mémoire, nombre de registres, etc.), le générateur retrouvera le même état interne au moins deux fois. Après coup, il entrera obligatoirement dans un cycle. Un générateur non périodique n'est pas impossible, mais nécessite une mémoire croissante pour ne pas se retrouver dans le même état. Pour contourner cet obstacle théorique, le générateur peut commencer dans un état quelconque (la « graine »). Il produira toutefois la même suite si la graine reste identique — ce qui peut être considéré comme un avantage sous certaines conditions, notamment en termes de reproductibilité. De plus, le nombre de graines possibles n'est pas infini et le générateur ne peut produire qu'un nombre limité de séquences différentes.

Pour améliorer la qualité des sorties, on peut introduire des composantes « aléatoires » provenant des imperfections du système, comme le temps entre deux accès au disque dur ou le nombre de millisecondes depuis le lancement de l'ordinateur. Ces valeurs sont toutefois comprises entre certains intervalles et/ou sont en partie prévisibles. Le système reste pseudo-aléatoire.

La longueur de la période maximale double à chaque fois qu'un bit est ajouté à l'état interne. Il est facile de construire des générateurs pseudo-aléatoires avec une période plus longue que ce que n'importe quel ordinateur pourrait calculer. Mersenne Twister, un excellent générateur de nombres aléatoires pour les applications non cryptographiques, a une période prouvée mathématiquement de 2¹⁹⁹³⁷-1.

La question est ouverte quant à savoir s'il est possible de distinguer une suite pseudo-aléatoire générée algorithmiquement d'une source parfaite d'aléa, et ceci sans connaître la graine du générateur. En cryptographie, la plupart des spécialistes partent du principe que c'est une chose impossible avec la puissance de calcul actuelle. Ce principe est utilisé pour les chiffrements par flot comme RC4 qui procède à un XOR entre une suite pseudo-aléatoire et les données.

En principe, la plupart des générateurs ont des problèmes mathématiques qui peuvent être décelés avec une analyse statistique. La qualité des sorties augmente souvent au détriment de la vitesse de génération et ces paramètres doivent être considérés lors de l'utilisation d'un générateur. Les failles peuvent être les suivantes :

• période plus courte avec certaines graines
• qualité du générateur qui varie fortement selon la graine
• distribution imparfaite, manque d'uniformité
• mauvaise distribution dans un espace de dimension supérieure à 1 (Théorème de Marsaglia[3])
• ou au contraire : distribution trop idéale, uniformité trop parfaite
• valeurs successives qui ne sont pas indépendantes (ce qui est toujours le cas, sauf si on injecte des données, issues de sources aléatoires, dans une étape de la génération)
• certains bits dans les sorties sont moins aléatoires (par exemple, le bit n°8 reste souvent à 1)

Les défauts peuvent être importants ou quasiment invisibles. L'algorithme RANDU utilisé pendant plusieurs décennies était biaisé et certains résultats obtenus à l'époque ne peuvent être complètement validés. Il arrive parfois qu'une application pratique permette de déceler le problème (par exemple une simulation physique avec des résultats complètement inattendus), mais il est préférable de faire des tests avant utilisation pour les déceler.

En 1946, John von Neumann propose un générateur pseudo-aléatoire connu sous le nom de la méthode middle-square (carré médian). Très simple, elle consiste à prendre un nombre, à l'élever au carré et à prendre les chiffres au milieu comme sortie. Celle-ci est utilisée comme graine pour l'itération suivante.

Soit le nombre « 1111 ».

1. 1111² = 1234321
2. on récupère les chiffres du milieu : 3432. C'est la sortie du générateur.
3. 3432² = 11778624
4. on récupère les chiffres du milieu : 7786.

et ainsi de suite.

Von Neumann utilisa des nombres comportant 10 chiffres, le principe restant le même. Toutefois, la période du middle-square est faible. La qualité des sorties dépend de la graine, « 0000 » produit toujours la même séquence et constitue un « état absorbant » de l'algorithme. Von Neumann en était conscient, mais il craignait que des retouches a priori nécessaires n'apportent d'autres vices cachés. Sur l'ordinateur ENIAC qu'il utilisait avec sa méthode, il obtenait une génération 200 fois plus rapide que les résultats obtenus avec des cartes perforées. Selon Von Neumann, les générateurs basés sur du matériel ne pouvaient pas fonctionner correctement car ils ne stockaient pas les résultats (et on ne pouvait donc pas les vérifier). La méthode de Von Neumann montra vite ses limites lors d'applications utilisant des méthodes statistiques comme celle de Monte Carlo.

Cette méthode est basée sur la suite de Fibonacci modulo la valeur maximale désirée : ${\displaystyle x_{n}=(x_{n-1}+x_{n-2})\mod M}$ avec x₀ et x₁ en entrée.

On peut employer une variante : ${\displaystyle x_{n}=(x_{n-1}+x_{n-k})\mod M}$ avec x₀,...,x_{k –1} en entrée.

La qualité du générateur dépend de k et des nombres utilisés pour initialiser la suite. Ce générateur est par contre très simple à implémenter et ne consomme que peu de ressources.

Introduits en 1948 par D. H. Lehmer sous une forme réduite (incrément nul), ils vont être généralisés et seront largement utilisés ensuite. Ils reposent sur une simple formule de récurrence :

${\displaystyle X_{n+1}=(a\cdot X_{n}+c)\mod m}$

avec X₀ la graine. En général, la graine est un nombre premier, mais les contraintes exactes à son sujet dépendent de l'algorithme. Certaines graines peuvent conduire à des séquences dégénérées.

La période de ce générateur est au maximum de m, c’est-à-dire qu’elle est relativement courte puisque m est souvent choisi de manière à être de l’ordre de la longueur des mots sur l’ordinateur (par exemple : 2³² sur une machine 32 bits). Mais cette méthode présente un avantage : on connaît les critères sur les nombres a, c et m qui vont permettre d’obtenir une période maximale (égale à m).

L'itération de Lehmer n'est pas la seule possible ; on peut notamment utiliser d'autres formes de congruence :

• ${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}(X_{n}+1)\mod 2^{e}}$ avec ${\displaystyle X_{0}\mod 4=2~}$
• ${\displaystyle X_{n}=X_{n-j}+X_{n-k}+c\mod m}$ (pour j, k fixés)

En particulier : ${\displaystyle X_{n}=X_{n-24}+X_{n-55}\mod m}$ proposée en 1958 par G.J. Mitchell et D.P. Moore a passé avec succès de nombreux tests statistiques ; on sait par ailleurs que cette suite possède une très longue période. Son plus gros défaut est l’absence de théorie la concernant. Ici encore, les valeurs initiales sont cruciales. Si les X_n sont nuls pour tout n appartenant à l'ensemble initial, alors la suite produira toujours un résultat nul.

La famille de générateurs ACORN_(PRNG) (en) (Additive Congruential Random Numbers) introduits par R.S. Wikramaratna en 1989 représentent une approche robuste qui à ce jour [2019], moyennant un choix approprié de paramètres initiaux, réussit à l'ensemble des tests TestU01 (en), avec une vitesse d'exécution semblable à celle de Mersenne_Twister décrit ci-dessous. D'autres avantages d'ACORN sont :

• la simplicité de programmation en quelques lignes de code, dans tout langage évolué
• l'identité des résultats quel que soit le langage utilisé (FORTRAN, C, Javascript...)
• la convergence et la périodicité (qui peut être augmentée en fonction des besoins) sont établies par l'étude mathématique précisant les conditions initiales adéquates

Inventé par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura en 1997, Mersenne Twister est réputé pour sa qualité. Avec sa période de 2¹⁹⁹³⁷-1 itérations, il distribue de manière uniforme sur 623 dimensions (pour des nombres de 32 bits) et s'avère être plus rapide que la plupart des méthodes statistiquement plus faibles. Il est toutefois possible d'analyser la sortie de Mersenne Twister et de se rendre compte qu'il n'est pas entièrement aléatoire. L'algorithme de Berlekamp-Massey (en) ou l'algorithme de Reed-Sloane permettent de répondre à cette question. À ce jour, les effets négatifs sont liés

• à la cryptographie, Mersenne Twister ne pouvant accéder au titre de générateur cryptographique.
• à la cohérence statistique car cet algorithme échoue systématiquement sur deux des tests de la suite BigCrush dans TestU01 (en), alors qu'il existe plusieurs autres algorithmes de vitesse similaire qui réussissent l'ensemble de ces tests.

L’échange par réseaux sans fil pose de nombreux problèmes concernant la confidentialité des éléments échangés. Cela dit, il faut alors un mécanisme qui peut conserver le mieux possible cette confidentialité, ce mécanisme est alors le WEP pour Wired Equivalent Privacy. Le principe consiste à définir une clé chiffrée sur une longueur allant de 40 à 128 bits. Ensuite, la clé est déclarée au niveau du point d’accès et du client. Le but de la clé est de créer un nombre pseudo-aléatoire d’une longueur égale à celle de la trame de transmission. Le nombre pseudo-aléatoire ainsi généré sert à chiffrer la transmission, et alors à assurer la confidentialité de cette dernière.

Toutefois, le WEP n’assure malheureusement pas une sécurité optimale, les compagnies Fluhrer et Shamir ont montré que la génération de la chaîne pseudo-aléatoire rend possible la découverte de la clé de session en stockant 100 Mo à 1 Go de trafic créé intentionnellement. 24 bits de la clé sont dédiés à l’initialisation, ce qui veut dire que chiffrer à 128 bits est de loin meilleur que de chiffrer à 64 bits dans la mesure où chiffrer à 128 bits offre une possibilité réelle de chiffrer à 104 bits, tandis que chiffrer a 64 bits n’en offre que 40.

Les applications WEB qui ont pour utilisateurs les navigateurs WEB ont un système qui sert à protéger leurs clients par la création de sessions. Les sessions sont des espaces de travail qui ont un espace de stockage d’informations connu, elles sont aussi privées et appartiennent à un utilisateur particulier dûment authentifié.

Néanmoins, ces sessions ne présentent pas toujours le niveau de sécurité souhaité. C’est ici qu’interviennent les nombres pseudo-aléatoires. L’exemple le plus connu est celui d’attaque par session de type prédiction (méthode de détourner ou de personnifier un utilisateur WEB, elle s’accomplit par la déduction ou l'estimation de la valeur unique qui identifie la session associée). Pour éviter ce genre d’attaques, il est devenu courant d’utiliser un gestionnaire d’applications WEB capable de générer des identifiants qu’on ne peut pas prévoir. Il n’y a plus à chercher, car les applications de génération de nombres pseudo-aléatoires ont été suffisamment développées pour ce faire.

La cryptanalyse est une discipline récente, et signe un grand niveau de fiabilité quant aux méthodes de chiffrement qu’elle utilise, notamment le chiffrement par flot. Ce dernier consiste à additionner bit à bit au message clair une suite binaire pseudo-aléatoire de même longueur appelée suite chiffrante. Ce procédé est reconnu pour sa rapidité et sa compétitivité vis-à-vis des autres procédés dans la mesure où il est peu sensible aux erreurs introduites lors de la transmission. Des registres à décalage à rétroaction linéaire font souvent partie des générateurs pseudo-aléatoires utilisés pour produire les suites chiffrantes.

Une application importante au niveau biomédical concerne l’amélioration de la modélisation du dépôt de dose dans le corps et aussi pour accélérer le calcul de traitement. En effet, sur les grilles de calcul, il est impératif que chaque processus de calcul puisse disposer d’une sous-séquence aléatoire issue d’une séquence globale de nombres aléatoires à générer. L’un des fruits des recherches menées à ce sujet, est la plate-forme de simulation Monte-Carlo GATE, qui est un logiciel de calcul de dépôt de dose sur plusieurs grappes, et qui a permis de mettre en évidence des facteurs d’accélération de l’ordre de 30 du temps de calcul en comparaison avec une utilisation en milieu hospitalier.

Les codes pseudo-aléatoires connaissent une application originale dans le cadre du système de localisation par satellites GPS. Ils y sont en effet utilisés non pas en fonction de leur prévisibilité vis-à-vis d’une analyse extérieure pour protéger des données, mais parce qu’ils présentent une séquence connue, facile à calculer, et qui n’a aucune similitude avec les séquences obtenues en changeant de graine.

Ces caractéristiques sont utiles aux GPS à cause de l’utilisation qui en est faite : le but est de mesurer une distance entre deux équipements, en l’occurrence un satellite de la constellation GPS et un récepteur.

Cette mesure est réalisée en générant une séquence pseudo-aléatoire sur chacun des équipements, que l’on supposera synchronisés, et générant la séquence à la même vitesse. La séquence du satellite est alors modulée et transmise au récepteur, qui la compare à sa propre séquence. Il y a alors un décalage entre les deux chaînes, et ce décalage correspond au temps de propagation de l’information du satellite au récepteur. Il suffit alors de mesurer ce décalage, de le multiplier par la vitesse des ondes électromagnétiques dans l’air et le vide et on obtient la distance recherchée.

Ce principe est toutefois contrarié dans la réalité par de multiples facteurs qui conditionnent le choix du générateur pseudo-aléatoire à utiliser :

• Les séquences générées par les codes pseudo-aléatoires ne sont pas infinies et se répètent périodiquement, la période dépendant du code utilisé et de la machine sur laquelle il est implanté. Ce « défaut » entraîne une ambiguïté sur la distance mesurée par le récepteur : le décalage mesuré est de t, mais il peut aussi être de t+T (où T est la période de la séquence), de t-T, ou de tout nombre entier de périodes. Il est a priori impossible de lever cette ambiguïté sans traitement informatique qui relie la mesure de distance réalisée à la position du récepteur estimée précédemment. C’est pourquoi une caractéristique importante des codes pseudo-aléatoires utilisés dans le système GPS est leur période, qui doit être la plus longue possible : l’un des codes utilisés, appelé code P, possède une longueur d’onde supérieure au diamètre de la terre, ce qui fait disparaître le problème de l’ambiguïté.
• La vitesse de génération du code par les équipements conditionne la précision de la mesure de distance. En effet, la précision ne pourra jamais être plus grande que la distance élémentaire obtenue en multipliant le temps nécessaire à calculer ou émettre un bit par la vitesse de la lumière. En d’autres termes, on ne peut pas être plus précis que la distance parcourue par le signal du satellite pendant l’émission d’un bit du code. Il est donc primordial de posséder un code généré extrêmement rapidement, et dont la formule de calcul soit la plus simple possible. À titre d’exemple, pour obtenir une précision idéale de l’ordre du mètre, il faudrait générer un bit toutes les 3 nanosecondes.
• La méthode de mesure du décalage entre les deux codes est réalisée par une fonction de corrélation. La première caractéristique que cela impose au code est d’avoir une autocorrélation aussi proche que possible d’un pic de Dirac : si l’autocorrélation du code est importante quand il y a décalage de phase, il deviendra impossible de mesurer le décalage car il y aura ambiguïté entre deux possibles. De même, si entre deux satellites la corrélation des codes n’est pas faible, leurs signaux se perturberont mutuellement et cela rendra la mesure difficile voire irréalisable.

L’ensemble de ces facteurs a conduit les constructeurs du système GPS à utiliser les codes de Gold. Ces codes, basés sur la combinaison de deux séquences binaires, présentent des caractéristiques intéressantes pour le GPS : ils sont relativement faciles à calculer, et possèdent des périodes appropriées. Le point fort des codes de Gold est leur excellente réponse au 3^e critère : la corrélation de deux codes est faible, que ce soient deux codes décalés ou différents, et le seul cas où la corrélation est forte est celui de deux mêmes codes en phase. De ce fait, ils sont très utilisés en télécommunications pour réaliser le multiplexage par codes ou CDMA.