Fraction irréductible

En mathématiques, une fraction est irréductible s'il n'existe pas de fraction égale ayant des termes plus petits. Autrement dit, une fraction irréductible ne peut pas être simplifiée.

Exemples

La fraction ${\frac {12}{20}}$ n'est pas irréductible car 12 et 20 sont des multiples de 4 : ${\frac {12}{20}}={\frac {3\times 4}{5\times 4}}={\frac {3}{5}}$ (simplification par 4). On peut aussi écrire ${\frac {12}{20}}={\frac {12:4}{20:4}}={\frac {3}{5}}$ .

La fraction ${\frac {3}{5}}$ est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 3 et 5.

Méthodes pour simplifier une fraction

Utilisation des critères de divisibilité

On peut simplifier une fraction en divisant ses termes successivement par leurs diviseurs communs apparents (que l'on trouve en appliquant les critères de divisibilité par 2, 3, 5, etc.).

Exemple: ${\frac {42}{390}}={\frac {42:2}{390:2}}={\frac {21}{195}}={\frac {21:3}{195:3}}={\frac {7}{65}}$ .; Les nombres 42 et 390 sont pairs, on peut les diviser par 2.; La somme des chiffres du nombre 195 est un multiple de 3 (1 + 9 + 5 = 15). Donc 195 est un multiple de 3. Et 21 l'est aussi. On peut donc diviser ces deux nombres par 3.; La dernière fraction obtenue est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 7 et 65.

Simplification par le PGCD

Pour réduire directement une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. D'après le lemme de Gauss, cette forme réduite est unique.

Exemple: Pour réduire la fraction ${\frac {42}{390}}$ , on calcule $\operatorname {PGCD} (42,390)=6$ puis on simplifie par 6 :; ${\frac {42}{390}}={\frac {6\times 7}{6\times 65}}={\frac {7}{65}}$ .

Théorème

Soient $a$ un entier et $b$ un entier naturel non nul. Alors ${\frac {a}{b}}$ est irréductible si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Arithmétique et théorie des nombres

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