Application sous-linéaire

Soit ${\displaystyle V}$ un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application ${\displaystyle s\,\colon \,V\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est sous-linéaire[1] lorsque :

• pour tous vecteurs ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle s(x+y)\leq s(x)+s(y)}$ (on dit que ${\displaystyle s}$ est sous-additive),
• pour tout vecteur ${\displaystyle x}$ et tout ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, ${\displaystyle s(\lambda x)=\lambda \,s(x)}$[2] (on dit que ${\displaystyle s}$ est positivement homogène[3]).

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine.