Espace complètement régulier

Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T_{3 1/2} si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé).

Un espace est complètement régulier s'il est séparé et vérifie T_{3 1/2}. Il suffit pour cela qu'il vérifie T₀ et T_{3 1/2}.

Un espace vérifie donc T_{3 1/2} si et seulement si son quotient de Kolmogorov est complètement régulier.

• La topologie grossière vérifie T_{3 1/2}.
• Tout espace métrisable est complètement régulier.
• Le lemme d'Urysohn montre que plus généralement, tout espace normal est complètement régulier.
• Tout espace localement compact est complètement régulier.
• Pour des cas particuliers de tels espaces, voir les articles Espace métrique, Espace normal (et Espace paracompact), Espace localement compact.
• Il existe des espaces complètement réguliers qui ne sont ni normaux, ni localement compacts, comme le plan de Moore, le plan de Sorgenfrey et tout produit d'une infinité non dénombrable de copies de l'espace discret dénombrable.
• Tout groupe topologique vérifie T_{3 1/2}. Un ℝ-espace vectoriel topologique séparé est donc complètement régulier, alors qu'il n'est localement compact que s'il est de dimension finie.
• Le plan de Mysior n'est pas complètement régulier mais seulement régulier.

Pour tout espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• X vérifie T_{3 1/2} ;
• la topologie de X coïncide avec la topologie initiale associée à l'ensemble d'applications continues C(X, ℝ) ou au sous-ensemble C_b(X, ℝ) de celles qui sont bornées, ou même à C(X,[0, 1]) ;
• X est uniformisable ;
• tout fermé de X est une intersection de lieux d'annulation (en) de fonctions continues.

Un espace séparé X est complètement régulier si et seulement si X se plonge dans un espace compact, qui peut alors être choisi égal au cube de Tychonoff (en) [0, 1]^{C(X,[0, 1])}[1] ; l'adhérence de X dans ce cube est alors le compactifié de Stone-Čech de X.

La complète régularité est préservée par sous-espaces et par produits. Plus généralement, la propriété T_{3 1/2} est préservée par topologie initiale (mais pas la séparation).

Comme tous les axiomes de séparation, ces deux propriétés ne sont pas préservées par topologie finale : le quotient du plan de Moore obtenu en identifiant tous les points de ℚ×{0} à l'un d'eux et tous ceux de (ℝ\ℚ)×{0} à l'un d'eux n'est même pas séparé[2].

dont les références étaient :

• (de) Johann Cigler (de) et Hans-Christian Reichel (de), Topologie : Eine Grundvorlesung, Mannheim, Bibliographisches Institut, coll. « BI-Hochschultaschenbücher » (n^o 121), 1978 (ISBN 978-3-411-00121-7),
• (de) Wolfgang Franz (de), Topologie, vol. 1 : Allgemeine Topologie, Berlin, Walter de Gruyter, coll. « Sammlung Göschen » (n^o 6181), 1973, 4^e éd. (ISBN 978-3-11-004117-0),
• (en) Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970 et
• (en) Leonard Gillman (en) et Meyer Jerison (en), Rings of continuous functions, Springer, coll. « GTM » (n^o 43), 1976 (1^re éd. 1960).

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