Enstrophie

Pour un écoulement incompressible la vorticité (ou tourbillon) est définie comme le rotationnel de la vitesse V ou parfois la moitié de cette valeur. En géométrie plane (x, y)

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\nabla \times \mathbf {V} =(0,0,\Omega )^{t}\,,\qquad \Omega ={\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}}$

Pour toute quantité g, notons ${\displaystyle {\overline {g}}}$ la moyenne statistique de g. On suppose le milieu homogène et stationnaire en moyenne : ${\displaystyle {\overline {V}}(x,y,t)=C^{ste}}$. La moyenne statistique se ramène donc à une moyenne temporelle.

Dans un milieu turbulent on décompose

• la vitesse en moyenne temporelle et fluctuation v

${\displaystyle \mathbf {V} ={\overline {\mathbf {V} }}+\mathbf {v} }$

• la vorticité en moyenne temporelle et fluctuation ω

${\displaystyle \Omega ={\overline {\Omega }}+\omega }$

On définit alors

• l'énergie    ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\langle v^{2}\rangle }$
• l'enstrophie  ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {1}{2}}\langle \omega ^{2}\rangle }$

La turbulence peut être décrite comme un processus stochastique portant sur v ou ω où on associe un nombre d'onde κ à chaque échelle caractéristique. Le processus est caractérisé par une densité d'énergie E (κ) qui permet d'exprimer l'énergie cinétique turbulente k, la dissipation d'énergie ε et l'enstrophie

${\displaystyle k=\int _{0}^{\infty }E(\kappa )\mathrm {d} \kappa \,,\qquad \epsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }\kappa ^{2}E(\kappa )\mathrm {d} \kappa \,,\qquad {\mathcal {E}}=\int _{0}^{\infty }\kappa ^{2}E(\kappa )\mathrm {d} \kappa }$

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