Dimension de Kolmogorov

Dans un écoulement turbulent, on peut observer une cascade des tailles caractéristiques locales : des tourbillons de tailles différentes se superposent en un point de l'espace. La diminution des tailles des tourbillons s'effectue localement.

Ce mécanisme appelé cascade turbulente diffuse l'énergie par l'intermédiaire de la quantité de mouvement et la dissipe par frottement grâce à la viscosité.

À l'instant initial, la viscosité n'est pas prépondérante car le nombre de Reynolds est élevé (écoulement turbulent).

Le nombre de Reynolds est :

${\displaystyle Re={\frac {\rho VL}{\mu }}}$

ρ est la densité du fluide, V est sa vitesse, μ est la viscosité dynamique. On remarque que si la taille caractéristique L de l'écoulement (à vitesse et viscosité constantes) diminue, le nombre de Reynolds tend vers 0 et la viscosité devient prépondérante.

La dimension de Kolmogorov est l'échelle spatiale à partir de laquelle l'écoulement devient visqueux (Re>=1) et permet de dissiper l'énergie cinétique de l'écoulement.

${\displaystyle L\simeq {\frac {\mu }{\rho V}}}$

Elle correspond à la taille des petits tourbillons qui incarnent ce phénomène.

Il n'y a pas de tourbillons plus petits, car cette échelle est la limite de l'écoulement étudié, là où l'énergie initialement donnée au fluide se dissipe.

Ce processus appelé cascade d'énergie : la division des grands tourbillons en tourbillons plus petits permet un transfert d'énergie des grandes échelles vers les petites échelles. Ce processus est limité par l'effet de la dissipation moléculaire, qui empêche les variations de vitesse trop importantes. En pratique, ce transfert d'énergie n'est pas à sens unique, le phénomène d'appariement tourbillonnaire (en anglais backscatter) permettant le transfert ponctuel de petites structures tourbillonnaires (qui fusionnent) vers une ou des plus grosses.

Kolmogorov, en 1941, a émis l'hypothèse que cette cascade était auto-similaire : les tourbillons se divisent tous de la même manière quelle que soit leur échelle, tant qu'elle n'est ni trop petite (sinon il faut tenir compte de la viscosité) ni trop grande (les grands tourbillons dépendent de la géométrie de l'écoulement). C'est ce qu'on appelle la zone inertielle, et par des arguments d'analyse dimensionnelle, il a exprimé une loi (loi en -5/3) qui caractérise l'auto-similarité de la turbulence (un peu comme une courbe fractale, quand on "zoome" sur une turbulence, on ne peut pas savoir à quelle échelle on se trouve).

Certaines petites souffleries ont une chambre de tranquillisation en amont du convergent, formée à l'aide de structures en nid d'abeille . Cela permet de supprimer les plus grandes échelles de turbulence. Ainsi on se rapproche bien plus vite de la dimension de Kolmogorov et on obtient plus vite un écoulement laminaire, nécessaire aux observations.

La fumée recrachée d'une cigarette permet d'observer ce phénomène : les motifs dessinés par la fumée deviennent rapidement plus petits.

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