Équation de Helmholtz (mécanique des fluides)

En mécanique des fluides l'équation de Helmholtz est l'équation de transport de la vorticité (ou tourbillon) pour l'écoulement d'un fluide incompressible barotrope. Elle a été établie par Hermann von Helmholtz en 1858[1].

Cette équation est utilisée pour l'étude des mécanismes de turbulence et, dans le cas non visqueux, pour l'étude de l'atmosphère.

Équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0

{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g}

où ρ est la masse volumique supposée variable, p la pression, V la vitesse et ν la viscosité cinématique du fluide. g est une force extérieure.

L'équation de quantité de mouvement ci-dessus peut s'écrire[2]

{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla V^{2}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g}

On a introduit dans cette équation la vorticité

{\boldsymbol {\Omega }}=\nabla \times \mathbf {V}

en prenant le rotationnel de cette nouvelle équation il vient (on suppose g irrotationnel)

{\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+\nabla \times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} )={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}

Le second terme se développe de la façon suivante

\nabla \times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} )=(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}-\mathbf {V} \,\underbrace {\nabla \cdot {\boldsymbol {\Omega }}} _{\equiv 0}-({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +{\boldsymbol {\Omega }}\,\underbrace {\nabla \cdot \mathbf {V} } _{=~0}

Finalement l'équation de conservation de la vorticité s'écrit

{\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}=({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}+\Pi

où Π est le vecteur barocline

\Pi ={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p

Ce terme est nul pour un fluide barotrope. On obtient alors l'équation de Helmholtz

{\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}=({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}

(de) H. Helmholtz, « Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 55,‎ 1858, p. 25-55 (lire en ligne)
(en) Christophe Bailly et Geneviève Comte-Bellot, Turbulence, Springer, 2015 (ISBN 978-3-319-16159-4)

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