D'alembertien

Le d'alembertien, en général noté par un carré ${\displaystyle \Box }$, s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

${\displaystyle \Box =-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$ , où c est la vitesse de la lumière, ce que l'on peut réécrire en fonction du laplacien par :

${\displaystyle \Box =-\Delta +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski η_ab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

${\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\partial ^{\mu }\partial _{\mu },}$

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

Le d'alembertien apparait dans l'équation d'onde du quadri-potentiel électromagnétique :

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0.}$

L'équation de Klein-Gordon fait également intervenir l'opérateur :

${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0.}$

• Équation de d'Alembert
• Métrique minkowskienne

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